KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3909. (April 2006)

B. 3909. A fair coin is tossed 12 times in a row and the outcomes are listed. What is the probability that there are no three consecutive heads?

(5 pont)

Deadline expired on May 18, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az n dobásból álló 2n számú lehetséges sorozat közül - melyek mindegyike ugyanolyan p(n)=1/2n valószínűséggel következik be - jelölje A(n) azoknak a számát, amelyekben nincs három egymást követő fej. Ezen belül jelölje A0(n) azon sorozatok számát, amelyekben az utolsó dobás írás, A1(n) és A2(n) pedig azokét, ahol az utolsó két dobás rendre írás-fej, illetve fej-fej. Könnyen meggondolhatjuk, hogy A(1)=2, A(2)=4 és A(3)=7. Világos, hogy minden n-re

A_0(n+1)=A(n)\quad \hbox{\rm \'es}\quad A_1(n+1)=A_0(n),

valamint n\ge2 esetén

A(n)=A_0(n)+A_1(n)+A_2(n)\quad \hbox{\rm \'es}\quad A_2(n+1)=A_1(n).

Következésképpen minden n-re érvényes az

A(n+3)=A0(n+3)+A1(n+3)+A2(n+3)=A(n+2)+A0(n+2)+A1(n+2)=

=A(n+2)+A(n+1)+A0(n+1)=A(n+2)+A(n+1)+A(n)

összefüggés, amelynek segítségével A(12) értékét könnyen kiszámolhatjuk:

A(4)=13,\ A(5)=24,\ A(6)=44,\ A(7)=81,\ A(8)=149,\ A(9)=274,

\ A(10)=504,\ A(11)=927, \quad \hbox{\rm \'es v\'eg\"ul}\quad A(12)=1705.

A keresett valószínűség tehát

p(12)A(12)=1705/4096\approx0,416.


Statistics:

75 students sent a solution.
5 points:52 students.
4 points:3 students.
3 points:7 students.
2 points:4 students.
1 point:4 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley