KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3909. A fair coin is tossed 12 times in a row and the outcomes are listed. What is the probability that there are no three consecutive heads?

(5 points)

Deadline expired on 18 May 2006.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az n dobásból álló 2n számú lehetséges sorozat közül - melyek mindegyike ugyanolyan p(n)=1/2n valószínűséggel következik be - jelölje A(n) azoknak a számát, amelyekben nincs három egymást követő fej. Ezen belül jelölje A0(n) azon sorozatok számát, amelyekben az utolsó dobás írás, A1(n) és A2(n) pedig azokét, ahol az utolsó két dobás rendre írás-fej, illetve fej-fej. Könnyen meggondolhatjuk, hogy A(1)=2, A(2)=4 és A(3)=7. Világos, hogy minden n-re

A_0(n+1)=A(n)\quad \hbox{\rm \'es}\quad A_1(n+1)=A_0(n),

valamint n\ge2 esetén

A(n)=A_0(n)+A_1(n)+A_2(n)\quad \hbox{\rm \'es}\quad A_2(n+1)=A_1(n).

Következésképpen minden n-re érvényes az

A(n+3)=A0(n+3)+A1(n+3)+A2(n+3)=A(n+2)+A0(n+2)+A1(n+2)=

=A(n+2)+A(n+1)+A0(n+1)=A(n+2)+A(n+1)+A(n)

összefüggés, amelynek segítségével A(12) értékét könnyen kiszámolhatjuk:

A(4)=13,\ A(5)=24,\ A(6)=44,\ A(7)=81,\ A(8)=149,\ A(9)=274,

\ A(10)=504,\ A(11)=927, \quad \hbox{\rm \'es v\'eg\"ul}\quad A(12)=1705.

A keresett valószínűség tehát

p(12)A(12)=1705/4096\approx0,416.


Statistics on problem B. 3909.
75 students sent a solution.
5 points:52 students.
4 points:3 students.
3 points:7 students.
2 points:4 students.
1 point:4 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2006

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley