Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem B. 3910. (April 2006)

B. 3910. AB is a diameter in the circle k. Choose an arbitrary point E in the interior of the circle. The other intersections of the lines AE and BE with the circle are C and D, respectively. Prove that the value of the expression AC.AE+BD.BE is independent of the position of E.

(4 pont)

Deadline expired on May 18, 2006.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha az E pont az AB szakaszon helyezkedik el, akkor AC=DB=AB, vagyis a kifejezés értéke AB(AE+BE)=AB2. Egyébként jelölje az AEB szöget . Thalesz tétele értelmében az ADE háromszög derékszögű, vagyis ED=AEcos (180o-)=-AEcos . Ugyanígy EC=-BEcos . Ezért a koszinusz-tétel alapján most is

AC.AE+BD.BE=(AE2+EC.AE)+(BE2+ED.BE)=

=AE2+BE2-2AE.BEcos =AB2.

### Statistics:

 76 students sent a solution. 4 points: 72 students. 3 points: 2 students. 2 points: 2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2006