Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3910. feladat (2006. április)

B. 3910. Adott az AB átmérőjű k kör. Vegyünk fel a kör belsejében egy E pontot. Az AE és a BE egyeneseknek a körrel alkotott másik metszéspontja C, illetve D. Bizonyítsuk be, hogy az AC^.AE+BD^.BE kifejezés értéke nem függ az E helyzetétől.

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. május 18-án LEJÁRT.

Megoldás: Ha az E pont az AB szakaszon helyezkedik el, akkor AC=DB=AB, vagyis a kifejezés értéke AB(AE+BE)=AB². Egyébként jelölje az AEB szöget $\alpha$ . Thalesz tétele értelmében az ADE háromszög derékszögű, vagyis ED=AEcos (180^o- $\alpha$ )=-AEcos $\alpha$ . Ugyanígy EC=-BEcos $\alpha$ . Ezért a koszinusz-tétel alapján most is

AC^.AE+BD^.BE=(AE²+EC^.AE)+(BE²+ED^.BE)=

=AE²+BE²-2AE^.BEcos $\alpha$ =AB².

Statisztika:

76 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 72 versenyző.

3 pontot kapott: 2 versenyző.

2 pontot kapott: 2 versenyző.

A KöMaL 2006. áprilisi matematika feladatai

76 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	72 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.