KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3912. (May 2006)

B. 3912. Prove that every convex quadrilateral has a vertex, such that its reflection about the midpoint of the line segment connecting the two adjacent vertices does not lie outside the quadrilateral.

(4 pont)

Deadline expired on June 15, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyenek a négyszög csúcsai sorban A,B,C,D, a megfelelő szögek pedig rendre \alpha,\beta,\gamma,\delta. Mivel a négy szög összege 360o, \alpha+\beta és \gamma+\delta közül az egyik legalább 180o. Ugyanígy \beta+\gamma és \delta+\alpha közül is az egyik legalább 180o. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy

\alpha+\beta\ge180o,    \beta+\gamma\ge180o.

Tekintsük az ABCP paralelogrammát. Ekkor a P pont benne van mind a BAD, mind pedig a BCD zárt szögtartományban, vagyis a P pont vagy az ABCD négyszög belsejébe, vagy annak határára esik. Ez a P pont pedig éppen B-nek az AC szakasz felezőpontjára vonatkozó tükörképe.


Statistics:

48 students sent a solution.
4 points:Almási 270 Gábor András, Árvay Anna, Balambér Dávid, Balog 272 Éva, Csató László, Cseh Ágnes, Czövek Petra, Dombi Soma, Farkas Ádám László, Godó Zita, Győrffy Lajos, Horváth 385 Vanda, Károlyi Márton, Kiss Blanka, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kristóf Panna, Kunovszki Péter, Kurgyis Eszter, Kutas Péter, Mercz Béla, Mészáros Gábor, Milotai Zoltán, Müller Márk, Nagy 235 János, Nagy-Baló András, Németh 007 Zsolt, Páldy Sándor, Pásztor Attila, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Pirkó Dániel, Priksz Ildikó, Schäfer Fanni, Sommer Dániel, Sümegi Károly, Szakács Nóra, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szirmai Péter, Szudi László, Ta Phuong Linh, Tarlós 103 Gréta, Tomon István, Tossenberger Anna, Tóth 222 Barnabás, Wolosz János.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley