KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3916. Prove that the inequality


\frac{x^2+xy+y^2}{3}\le\frac{x+y}{2}\cdot \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}

holds for all positive numbers xy.

(3 points)

Deadline expired on 15 June 2006.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Négyzetre emeléssel az eredetivel ekvivalens

8(x2+xy+y2)2\le9(x+y)2(x2+y2)

egyenlőtlenséget kapjuk. A zárójeleket kibontva és rendezve azt

0\lex4+y4+2x3y+2xy3-6x2y2

alakra hozhatjuk. Mivel pedig a jobboldalon

(x2-y2)2+2xy(x-y)2

áll, az egyenlőtlenség nyilván teljesül, egyenlőség pedig pontosan az x=y esetben áll fenn.


Statistics on problem B. 3916.
109 students sent a solution.
3 points:76 students.
2 points:21 students.
1 point:4 students.
0 point:8 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2006

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley