Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3916. (May 2006)

B. 3916. Prove that the inequality


\frac{x^2+xy+y^2}{3}\le\frac{x+y}{2}\cdot \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}

holds for all positive numbers xy.

(3 pont)

Deadline expired on June 15, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Négyzetre emeléssel az eredetivel ekvivalens

8(x2+xy+y2)2\le9(x+y)2(x2+y2)

egyenlőtlenséget kapjuk. A zárójeleket kibontva és rendezve azt

0\lex4+y4+2x3y+2xy3-6x2y2

alakra hozhatjuk. Mivel pedig a jobboldalon

(x2-y2)2+2xy(x-y)2

áll, az egyenlőtlenség nyilván teljesül, egyenlőség pedig pontosan az x=y esetben áll fenn.


Statistics:

109 students sent a solution.
3 points:76 students.
2 points:21 students.
1 point:4 students.
0 point:8 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2006