Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3919. (May 2006)

B. 3919. Construct a point P in the interior of an acute-angled triangle ABC, such that PA.BC=PB.CA=PC.AB.

Suggested by G. Holló, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on June 15, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az első feltétel azzal ekvivalens, hogy PA:PB=CA:CB, vagyis hogy P arra a kc Apollóniusz-körre illeszkedik, amelynek középpontja az AB egyenesen van, és amely áthalad mind a C csúcson, mind pedig (a szögfelező-tétel értelmében) a C-ből induló szögfelezőnek az AB oldallal alkotott Fc metszéspontján. (A CA=CB esetben kc az AB oldal felező merőlegesévé fajul el.) A második feltétel pedig azzal ekvivalens, hogy P illeszkedik arra a ka Apollóniusz-körre, amelynek középpontja a BC egyenesen van, és amely áthalad mind az A csúcson, mind pedig az A-ból induló szögfelezőnek a BC oldallal alkotott Fa metszéspontján. E két evidens módon megszerkeszthető körnek a háromszögbe eső metszéspontja szolgáltatja a P pontot.

Hogy pontosan egy ilyen P pont létezik, ahhoz elég annyit látni, hogy a kc (illetve ka) körnek a C-t Fc-vel (A-t Fa-val) összekötő rövidebb íve végig a háromszög belsejében halad. Ez az elfajuló esetben triviálisan teljesül, ha pedig például \beta>\alpha, akkor az első állítás abból következik, hogy az OcCA szög derékszögnél nagyobb, ahol Oc a kc középpontja. Ezt pedig egyszerű szögszámolással így igazolhatjuk: mivel a BCFc háromszögben a BCFc szög \gamma/2, a BFcC szög \alpha+\gamma/2 lesz, ezért az OcFcC egyenlő szárú háromszög miatt az OcCB szög \alpha, és végül az OcCA szög \alpha+\gamma, ami nagyobb 90o-nál, mivel az ABC háromszög hegyesszögű.


Statistics:

33 students sent a solution.
3 points:Bartha Zsolt, Faragó Kornél, Farkas Márton, Grósz Dániel, Győrffy Lajos, Herber Máté, Nagy 235 János, Sommer Dániel, Szabó Levente, Szakács Nóra, Szalkai Balázs, Szívós Eszter, Ta Phuong Linh, Tallián György, Tóth 222 Barnabás, Tóthmérész Lilla, Varga 111 Péter.
2 points:Csató László, Földes Imre, Godó Zita, Károlyi Gergely, Milotai Zoltán, Nagy 314 Dániel, Nagy-Baló András, Páldy Sándor, Tóth 796 Balázs, Véges Márton.
1 point:1 student.
0 point:5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2006