KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3919. Construct a point P in the interior of an acute-angled triangle ABC, such that PA.BC=PB.CA=PC.AB.

Suggested by G. Holló, Budapest

(3 points)

Deadline expired on 15 June 2006.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az első feltétel azzal ekvivalens, hogy PA:PB=CA:CB, vagyis hogy P arra a kc Apollóniusz-körre illeszkedik, amelynek középpontja az AB egyenesen van, és amely áthalad mind a C csúcson, mind pedig (a szögfelező-tétel értelmében) a C-ből induló szögfelezőnek az AB oldallal alkotott Fc metszéspontján. (A CA=CB esetben kc az AB oldal felező merőlegesévé fajul el.) A második feltétel pedig azzal ekvivalens, hogy P illeszkedik arra a ka Apollóniusz-körre, amelynek középpontja a BC egyenesen van, és amely áthalad mind az A csúcson, mind pedig az A-ból induló szögfelezőnek a BC oldallal alkotott Fa metszéspontján. E két evidens módon megszerkeszthető körnek a háromszögbe eső metszéspontja szolgáltatja a P pontot.

Hogy pontosan egy ilyen P pont létezik, ahhoz elég annyit látni, hogy a kc (illetve ka) körnek a C-t Fc-vel (A-t Fa-val) összekötő rövidebb íve végig a háromszög belsejében halad. Ez az elfajuló esetben triviálisan teljesül, ha pedig például \beta>\alpha, akkor az első állítás abból következik, hogy az OcCA szög derékszögnél nagyobb, ahol Oc a kc középpontja. Ezt pedig egyszerű szögszámolással így igazolhatjuk: mivel a BCFc háromszögben a BCFc szög \gamma/2, a BFcC szög \alpha+\gamma/2 lesz, ezért az OcFcC egyenlő szárú háromszög miatt az OcCB szög \alpha, és végül az OcCA szög \alpha+\gamma, ami nagyobb 90o-nál, mivel az ABC háromszög hegyesszögű.


Statistics on problem B. 3919.
33 students sent a solution.
3 points:Bartha Zsolt, Faragó Kornél, Farkas Márton, Grósz Dániel, Győrffy Lajos, Herber Máté, Nagy 235 János, Sommer Dániel, Szabó Levente, Szakács Nóra, Szalkai Balázs, Szívós Eszter, Ta Phuong Linh, Tallián György, Tóth 222 Barnabás, Tóthmérész Lilla, Varga 111 Péter.
2 points:Csató László, Földes Imre, Godó Zita, Károlyi Gergely, Milotai Zoltán, Nagy 314 Dániel, Nagy-Baló András, Páldy Sándor, Tóth 796 Balázs, Véges Márton.
1 point:1 student.
0 point:5 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2006

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley