Problem B. 3920. (May 2006)

B. 3920. Solve the equation 3^x+4^y=5^z in the set of positive integers.

(5 pont)

Deadline expired on June 15, 2006.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: 5^z 4-gyel osztva 1 maradákot ad, ezért 3^x is, vagyis x páros. Mivel pedig 4^y 3-mal osztva 1 maradákot ad, 5^z is azt kell hogy adjon, vagyis z is páros. Tehát a=3^x/2, b=2^y és c=5^z/2 olyan egész számok, amelyekre a²+b²=c², vagyis 4^y=b²=(c+a)(c-a). Itt c+a és c-a is páros számok, tehát az s=(c+a)/2, t=(c-a)/2 pozitív egész számokra st=4^y-1 négyzetszám. Mivel s+t=c és s-t=a relatív prímek, alkalmas u,v egymáshoz relatív prím pozitív egészekkel s=u², t=v². Mivel st 2-hatvány, u és v is az kell legyen, de u>v miatt ez csak v=1 esetén teljesülhet (u,v)=1 miatt. Vagyis

3^x/2=a=s-t=u²-1=(u+1)(u-1),

ahol a jobboldalon mindkét tényező 3-hatvány. Viszont nem lehet mind a kettő 3-mal osztható, hiszen különbségük 2. Ezért u-1=1, u=2, a=3, x=2, c=s+t=u²+1=5, z=2, y=2. Az egyenlet egyetlen megoldása tehát a már a görögök által is jól ismert x=y=z=2.

Statistics:

42 students sent a solution.
5 points:	Csató László, Dányi Zsolt, Dombi Soma, Honner Balázs, Károlyi Márton, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Peregi Tamás, Salát Zsófia, Sümegi Károly, Szakács Nóra, Szalóki Dávid, Tomon István, Tossenberger Anna, Udvari Balázs, Varga 171 László.
4 points:	Győrffy Lajos, Kardos Kinga Gabriela, Kovács 111 Péter, Kovács 333 Veronika, Kutas Péter, Mercz Béla, Páldy Sándor, Sárkány Lőrinc, Szilágyi 987 Csaba, Szudi László.
3 points:	3 students.
2 points:	3 students.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2006