Problem B. 3925. (September 2006)
B. 3925. Let T denote the orthogonal projection of the midpoint F of the circular arc ABC onto the broken line ABC. Prove that T halves the length of the broken line.
(4 pont)
Deadline expired on October 16, 2006.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Jelölje a BAC szög nagyságát , a BCA szögét . Az ábrának megfelelően >. Az F ponton keresztül a BC húrral párhuzamos egyenes a körívet egy további F' pontban metszi, melynek vetülete a BC szakaszra legyen T'. A BC egyenesen a B,T,T',C pontok ebben a sorrendben követik egymást. Mivel BT=T'C és TT'=FF', elegendő az AB=FF' állítást igazolni. A kerületi szögek tétele értelmében ez egyenértékű azzal, hogy a C pontból az FF' húr is szög alatt látszik.
Az AFC szög nagysága, akárcsak az ABC szögé, 180o--, ezért az FCA, az FAC és így az FBC és F'CB szög is egyaránt (+)/2. Ezért az FCB szög (-)/2, és így az F'CF szög valóban .
Statistics:
214 students sent a solution. 4 points: 148 students. 3 points: 34 students. 2 points: 13 students. 1 point: 10 students. 0 point: 9 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2006