Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3925. (September 2006)

B. 3925. Let T denote the orthogonal projection of the midpoint F of the circular arc ABC onto the broken line ABC. Prove that T halves the length of the broken line.

(4 pont)

Deadline expired on October 16, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Jelölje a BAC szög nagyságát \alpha, a BCA szögét \gamma. Az ábrának megfelelően \alpha>\gamma. Az F ponton keresztül a BC húrral párhuzamos egyenes a körívet egy további F' pontban metszi, melynek vetülete a BC szakaszra legyen T'. A BC egyenesen a B,T,T',C pontok ebben a sorrendben követik egymást. Mivel BT=T'C és TT'=FF', elegendő az AB=FF' állítást igazolni. A kerületi szögek tétele értelmében ez egyenértékű azzal, hogy a C pontból az FF' húr is \gamma szög alatt látszik.

Az AFC szög nagysága, akárcsak az ABC szögé, 180o-\alpha-\gamma, ezért az FCA, az FAC és így az FBC és F'CB szög is egyaránt (\alpha+\gamma)/2. Ezért az FCB szög (\alpha-\gamma)/2, és így az F'CF szög valóban \gamma.


Statistics:

214 students sent a solution.
4 points:148 students.
3 points:34 students.
2 points:13 students.
1 point:10 students.
0 point:9 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2006