KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3927. (September 2006)

B. 3927. Vertex A of a tetrahedron ABCD is reflected about B, B is reflected about C, C about D and D about A. Let the respective reflections be A', B', C' and D'. By what factor is the volume of the tetrahedron A'B'C'D' larger than that of the original tetrahedron ABCD?

(Suggested by G. Holló, Budapest)

(4 pont)

Deadline expired on 16 October 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha az A pontból a B,C,D csúcsokba mutató vektorokat \b b, \b c és \b d jelöli, akkor az A',B',C',D' csúcsokba mutató vektorok rendre 2\b b, 2\b c-\b b, 2\b d-\b c és -\b d lesznek, vagyis

\ora{D'A'}=2\b b+\b d,\quad \ora{D'B'}=2\b c-\b b+\b d\quad
\hbox{\rm és} \quad \ora{D'C'}=3\b d-\b c.

Az eredeti tetraéder térfogata V=|\b b \b c\b d|/6, ahol \b b \b c\b d=(\b b\times\b c)\b d a \b b,\b c,\b d vektorok vegyes szorzata. A vegyes szorzat jól ismert azonosságainak ismeretében, valamint felhasználva, hogy ha három vektor között van két párhuzamos, akkor azok vegyes szorzata 0, az új tetraéder térfogatára

V'=\frac{1}{6} \ora{D'A'}\ora{D'B'}\ora{D'C'}=
\frac{1}{6}| (2\b b+\b d)(2\b c-\b b+\b d)(3\b d-\b c)|=
\frac{1}{6}|15 \b b \b c\b d|=15V

adódik.


Statistics:

112 students sent a solution.
4 points:Bodor Bertalan, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csima Géza, Dinh Van Anh, Éles András, Faragó Ákos, Farkas Ádám László, Fonyó Dávid, Kardos Kinga Gabriela, Kornis Kristóf, Kriván Bálint, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Peregi Tamás, Roósz Gergő, Sárkány Lőrinc, Somogyi Ákos, Szalkai Balázs, Ta Phuong Linh, Wolosz János.
3 points:Blázsik Zoltán, Cseh Ágnes, Dudás Zsolt, Fridrik József Richárd, Gresits Iván, Kurgyis Eszter, Lippai Ádám, Majoros Csilla, Nagy-Baló András, Páldy Sándor, Papp 648 Pál András, Prőhle Zsófia, Reiter Viktor, Szűcs Gergely.
2 points:8 students.
1 point:62 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley