Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3929. (September 2006)

B. 3929. Let {r} denote the number obtained by taking away from r the greatest integer not greater than r. Prove that the equation {x3}+{y3}={z3} has infinitely many solutions, such that x, y and z are rational numbers, but none of them are integers.

(5 pont)

Deadline expired on October 16, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Keressük a számokat x=a/d, y=b/d és z=c/d alakban, ahol az a,b,c egész számok egyike sem oszható az 1-nél nagyobb d egész számmal. Ekkor az egyenletet átírhatjuk A+B=C alakra, ahol A,B,C rendre az a3,b3,c3 számok d3-nel adott osztási maradéka, melyek közül egyik sem 0. Könnyen látszik, hogy d=2 esetén nincs megoldás. A d=3 esetnél valamivel szimpatikusabb d=4-gyel próbálkozva, könnyen találunk megoldást: a=1, b=7, c=6. Mivel pedig (n+d3)3 ugyanolyan maradékot ad d3-nel osztva, mint n3, ebből már végtelen sok megoldás adódik

x_k=\frac{1+64k}{4},\quad y_k=\frac{7}{4},\quad z_k=\frac{3}{2}\qquad
(k=0,1,2,\ldots)

alakban, amikor is valóban {x3}+{y3}={z3}=3/8.


Statistics:

76 students sent a solution.
5 points:Bogár 560 Péter, Dékány Tamás, Dibuz Dániel, Dinh Hoangthanh Attila, Éles András, Fonyó Dávid, Fridrik József Richárd, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Kardos Kinga Gabriela, Kiss 002 Benedek, Kunovszki Péter, Lippai Ádám, Mercz Béla, Mester Anita, Peregi Tamás, Roósz Gergő, Rózsa Levente, Szalóki Dávid, Szigetvári Áron, Szikszay László, Tálosi András, Tóth 666 László Márton, Török Balázs, Varga 171 László, Wolosz János.
4 points:Almási 270 Gábor András, Aujeszky Tamás, Balambér Dávid, Bartha Zsolt, Bencs 111 Ferenc, Berecz Dénes, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Dobribán Edgár, Farkas Ádám László, Grósz Dániel, Heinczinger Ádám, Károlyi Gergely, Kornis Kristóf, Kunos Ádám, Mészáros András, Mihálykó Ágnes, Nagy 314 Dániel, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tossenberger Anna, Véges Márton.
3 points:8 students.
2 points:3 students.
1 point:2 students.
0 point:13 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2006