KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3930. (September 2006)

B. 3930. Prove that by drawing some noncrossing diagonals it can be divided into triangles such that each vertex of the polygon belongs to an odd number of them.

(4 pont)

Deadline expired on 16 October 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen a sokszög csúcsainak száma 3k, ahol k pozitív egész. Az állítást k szerinti teljes indukcióval igazoljuk. Ha k=1, akkor az állítás nyilvánvaló. Legyen tehát k\ge2, és tegyük fel, hogy bármely 3(k-1) csúcsú konvex sokszög háromszögekre bontható a kívánt módon. Tekintsünk egy K=P_1P_2\ldots P_{3k} konvex sokszöget. A K'=P_1P_2\ldots P_{3k-3} sokszögnek húzzuk be néhány átlóját az indukciós feltevésnek megfelelő módon, ezek egyben a K sokszögnek is átlói. Ezeken kívül húzzuk még be K-ban a P1P3k-3, a P1P3k-1 és P3k-3P3k-1 átlókat. Így K-t is felbontottuk háromszögekre. Ez megfelelő lesz, ugyanis a P_2,\ldots,P_{3k-4} csúcsokra ugyanannyi háromszög illeszkedik, mint K' felbontásában, a P1 és P3k-3 pontokra 2-vel több (tehát ugyancsak páratlan sok), a P3k-2, illetve P3k csúcsokra egy-egy, P3k-1-re pedig 3.


Statistics:

176 students sent a solution.
4 points:146 students.
3 points:12 students.
2 points:1 student.
1 point:2 students.
0 point:13 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley