KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3930. Prove that by drawing some noncrossing diagonals it can be divided into triangles such that each vertex of the polygon belongs to an odd number of them.

(4 points)

Deadline expired on 16 October 2006.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Legyen a sokszög csúcsainak száma 3k, ahol k pozitív egész. Az állítást k szerinti teljes indukcióval igazoljuk. Ha k=1, akkor az állítás nyilvánvaló. Legyen tehát k\ge2, és tegyük fel, hogy bármely 3(k-1) csúcsú konvex sokszög háromszögekre bontható a kívánt módon. Tekintsünk egy K=P_1P_2\ldots P_{3k} konvex sokszöget. A K'=P_1P_2\ldots P_{3k-3} sokszögnek húzzuk be néhány átlóját az indukciós feltevésnek megfelelő módon, ezek egyben a K sokszögnek is átlói. Ezeken kívül húzzuk még be K-ban a P1P3k-3, a P1P3k-1 és P3k-3P3k-1 átlókat. Így K-t is felbontottuk háromszögekre. Ez megfelelő lesz, ugyanis a P_2,\ldots,P_{3k-4} csúcsokra ugyanannyi háromszög illeszkedik, mint K' felbontásában, a P1 és P3k-3 pontokra 2-vel több (tehát ugyancsak páratlan sok), a P3k-2, illetve P3k csúcsokra egy-egy, P3k-1-re pedig 3.


Statistics on problem B. 3930.
176 students sent a solution.
4 points:146 students.
3 points:12 students.
2 points:1 student.
1 point:2 students.
0 point:13 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2006

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley