Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3930. feladat (2006. szeptember)

B. 3930. Bizonyítsuk be, hogy ha egy konvex sokszög csúcsainak száma oszható 3-mal, akkor felbontható egymást nem metsző átlókkal háromszögekre úgy, hogy a sokszög minden csúcsa páratlan sok háromszögnek pontja.

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. október 16-án LEJÁRT.


Megoldás: Legyen a sokszög csúcsainak száma 3k, ahol k pozitív egész. Az állítást k szerinti teljes indukcióval igazoljuk. Ha k=1, akkor az állítás nyilvánvaló. Legyen tehát k\ge2, és tegyük fel, hogy bármely 3(k-1) csúcsú konvex sokszög háromszögekre bontható a kívánt módon. Tekintsünk egy K=P_1P_2\ldots P_{3k} konvex sokszöget. A K'=P_1P_2\ldots P_{3k-3} sokszögnek húzzuk be néhány átlóját az indukciós feltevésnek megfelelő módon, ezek egyben a K sokszögnek is átlói. Ezeken kívül húzzuk még be K-ban a P1P3k-3, a P1P3k-1 és P3k-3P3k-1 átlókat. Így K-t is felbontottuk háromszögekre. Ez megfelelő lesz, ugyanis a P_2,\ldots,P_{3k-4} csúcsokra ugyanannyi háromszög illeszkedik, mint K' felbontásában, a P1 és P3k-3 pontokra 2-vel több (tehát ugyancsak páratlan sok), a P3k-2, illetve P3k csúcsokra egy-egy, P3k-1-re pedig 3.


Statisztika:

176 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:146 versenyző.
3 pontot kapott:12 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:13 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2006. szeptemberi matematika feladatai