Problem B. 3931. (September 2006)
B. 3931. Find a polynomial p of rational coefficients, such that .
(Based on the suggestion by Ervin Fried, Budapest)
(5 pont)
Deadline expired on October 16, 2006.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: A keresett polinom legalább elsőfokú. Ha p(x)=cx+d, akkor , ha pedig p(x)=bx2+cx+d, akkor
Annak ellenőrzése, hogy egy ilyen alakú szám lehet-e -vel egyenlő, bonyolult számolásokhoz vezetne, ezért inkább keressük a polinomot p(x)=ax3+bx2+cx+d alakban, ahol a,b,c,d racionális számok. Ekkor
Ha az a,b,c,d számokat meg tudjuk úgy választani, hogy 11a+c=1 és 9a+c=2b=6b+d=0 legyen, akkor készen vagyunk. Ez pedig igen egyszerű: b=d=0, a=1/2, c=-9/2 az egyetlen megfelelő választás. A polinom tehát megoldása a feladatnak. (A negyedfokú polinomok között pedig már végtelen sok különböző megoldás létezik.)
Statistics:
175 students sent a solution. 5 points: 120 students. 4 points: 28 students. 3 points: 1 student. 2 points: 2 students. 0 point: 24 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2006