KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3931. (September 2006)

B. 3931. Find a polynomial p of rational coefficients, such that p\big(\sqrt{2} +
\sqrt{3}\,\big)=\sqrt{2}.

(Based on the suggestion by Ervin Fried, Budapest)

(5 pont)

Deadline expired on 16 October 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A keresett polinom legalább elsőfokú. Ha p(x)=cx+d, akkor p(\sqrt{2}+\sqrt{3})=c\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d, ha pedig p(x)=bx2+cx+d, akkor

p(\sqrt{2}+\sqrt{3})=5b+2b\sqrt{6}+c\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d.

Annak ellenőrzése, hogy egy ilyen alakú szám lehet-e \sqrt{2}-vel egyenlő, bonyolult számolásokhoz vezetne, ezért inkább keressük a polinomot p(x)=ax3+bx2+cx+d alakban, ahol a,b,c,d racionális számok. Ekkor

p(x)=a(2\sqrt{2}+6\sqrt{3}+9\sqrt{2}+3\sqrt{3})+b(6+2\sqrt{6})
+c(\sqrt{2}+\sqrt{3})+d

=(11a+c)\sqrt{2}+(9a+c)\sqrt{3}+2b\sqrt{6}+(6b+d).

Ha az a,b,c,d számokat meg tudjuk úgy választani, hogy 11a+c=1 és 9a+c=2b=6b+d=0 legyen, akkor készen vagyunk. Ez pedig igen egyszerű: b=d=0, a=1/2, c=-9/2 az egyetlen megfelelő választás. A p(x)=\frac{1}{2}x^3-\frac{9}{2}x polinom tehát megoldása a feladatnak. (A negyedfokú polinomok között pedig már végtelen sok különböző megoldás létezik.)


Statistics:

175 students sent a solution.
5 points:120 students.
4 points:28 students.
3 points:1 student.
2 points:2 students.
0 point:24 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley