KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
A verseny állása
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3931. Adjunk meg olyan racionális együtthatós p polinomot, amelyre p\big(\sqrt{2} +
\sqrt{3}\,\big)=\sqrt{2}.

Fried Ervin (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő LEJÁRT.


Megoldás: A keresett polinom legalább elsőfokú. Ha p(x)=cx+d, akkor p(\sqrt{2}+\sqrt{3})=c\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d, ha pedig p(x)=bx2+cx+d, akkor

p(\sqrt{2}+\sqrt{3})=5b+2b\sqrt{6}+c\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d.

Annak ellenőrzése, hogy egy ilyen alakú szám lehet-e \sqrt{2}-vel egyenlő, bonyolult számolásokhoz vezetne, ezért inkább keressük a polinomot p(x)=ax3+bx2+cx+d alakban, ahol a,b,c,d racionális számok. Ekkor

p(x)=a(2\sqrt{2}+6\sqrt{3}+9\sqrt{2}+3\sqrt{3})+b(6+2\sqrt{6})
+c(\sqrt{2}+\sqrt{3})+d

=(11a+c)\sqrt{2}+(9a+c)\sqrt{3}+2b\sqrt{6}+(6b+d).

Ha az a,b,c,d számokat meg tudjuk úgy választani, hogy 11a+c=1 és 9a+c=2b=6b+d=0 legyen, akkor készen vagyunk. Ez pedig igen egyszerű: b=d=0, a=1/2, c=-9/2 az egyetlen megfelelő választás. A p(x)=\frac{1}{2}x^3-\frac{9}{2}x polinom tehát megoldása a feladatnak. (A negyedfokú polinomok között pedig már végtelen sok különböző megoldás létezik.)


A B. 3931. feladat statisztikája
175 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:120 versenyző.
4 pontot kapott:28 versenyző.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:24 versenyző.


  • A KöMaL 2006. szeptemberi matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap