KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3935. (October 2006)

B. 3935. Some characters in a Hamlet play are paired, for example, both members of a pair can play the role of Gertrude and the role of Player Queen. Before every performance it is decided by a lot who will play Gertrude and who Player Queen. Other pairs are also chosen by a similar lot. Sarah has already seen Hamlet, but she wants to see it again with a different actor playing the other member of the pair Gertrude/Player Queen, Claudius/Player King and Ophelia/Fortinbras, although not necessarily in one performance. How many tickets should she still buy to see all three roles in the other casting with 90% probability?

(4 pont)

Deadline expired on 15 November 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy Sári még n előadást néz meg. Nyilván minél nagyobb az n értéke, annál nagyobb annak a valószínűsége, hogy Sári mindhárom szerepet látja a másik szereposztásban is. Rögzítsük az egyik szereppárt (pl. Ophelia / Fortinbras). Annak valószínűsége, hogy ezt a párost minden alkalommal ugyanabban a leosztásban látja, mint először, nyilván 1/2n. Ez az A rossz esemény tehát P(A)=1/2n valószínűséggel következik be, akárcsak a másik két hasonló rossz esemény, melyet jelöljön B, illetve C. Annak a valószínűsége, hogy egyszerre két ilyen rossz esemény, mondjuk A és B is bekövetkezik, P(A\capB)=(1/2n)2=1/4n, annak pedig, hogy mind a három egyszerre bekövetkezik, P(A\capB\capC)=1/8n.

Annak a valószínűsége tehát, hogy egyik rossz esemény sem következik be, a logikai szitaformula szerint

1-P(A)-P(B)-P(C)+P(A\capB)+P(A\capC)+P(B\capC)-P(A\capB\capC).

Ez kell, hogy legalább 0,9 legyen. Ennek szükséges és elégséges feltétele

3\cdot\frac{1}{2^n}-3\cdot\frac{1}{4^n}+\frac{1}{8^n}\le 0,1.

Ha n=4, akkor a baloldal értéke

\frac{3}{16}-\frac{3}{256}+\frac{1}{8^4}>\frac{3}{16}-\frac{1}{64}>
\frac{2}{16}=\frac{1}{8}>0,1.

Ha viszont n=5, akkor a megfelelő értékre már

\frac{3}{32}-\frac{3}{2^{10}}+\frac{1}{2^{15}}
<\frac{3}{32}<\frac{3}{30}=0,1

adódik. Sárinak tehát még legalább 5 előadásra kell jegyet váltania.


Statistics:

140 students sent a solution.
4 points:75 students.
3 points:16 students.
2 points:2 students.
1 point:13 students.
0 point:34 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley