KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3936. (October 2006)

B. 3936. Determine the conditions on the real numbers a, b and c such that for every positive integer n there exists a triangle with side lengths an, bn and cn.

Suggested by Ervin Fried, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on 15 November 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Nyilván mindhárom szám pozitív kell legyen. Tegyük fel, hogy a\geb\gec, ekkor minden n természtes számra an\gebn\gecn, tehát a szerkeszthetőség feltétele an<bn+cn lesz. Ha a>b lenne, akkor elegendően nagy n-re (c/a)n\le(b/a)n<1/2 lenne, amiből an=an/2+an/2>bn+cn következne. Vagyis ekkor szükségképpen a=b. Ha viszont a=b\gec, akkor an<bn+cn nyilván teljesül minden n természetes számra. Szükséges és elégséges feltétel tehát, hogy mindhárom szám pozitív legyen, és hogy közülük a két legnagyobb megegyezzen, vagyis egyik se legyen határozottan nagyobb a másik kettőnél.


Statistics:

152 students sent a solution.
4 points:70 students.
3 points:36 students.
2 points:15 students.
1 point:14 students.
0 point:16 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley