Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3936. feladat (2006. október)

B. 3936. Milyen feltételeknek kell teljesülni az a, b, c valós számokra ahhoz, hogy minden n természetes számra létezzék olyan háromszög, amelynek az oldalai an, bn és cn?

Javasolta: Fried Ervin (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. november 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Nyilván mindhárom szám pozitív kell legyen. Tegyük fel, hogy a\geb\gec, ekkor minden n természtes számra an\gebn\gecn, tehát a szerkeszthetőség feltétele an<bn+cn lesz. Ha a>b lenne, akkor elegendően nagy n-re (c/a)n\le(b/a)n<1/2 lenne, amiből an=an/2+an/2>bn+cn következne. Vagyis ekkor szükségképpen a=b. Ha viszont a=b\gec, akkor an<bn+cn nyilván teljesül minden n természetes számra. Szükséges és elégséges feltétel tehát, hogy mindhárom szám pozitív legyen, és hogy közülük a két legnagyobb megegyezzen, vagyis egyik se legyen határozottan nagyobb a másik kettőnél.


Statisztika:

152 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:70 versenyző.
3 pontot kapott:36 versenyző.
2 pontot kapott:15 versenyző.
1 pontot kapott:14 versenyző.
0 pontot kapott:16 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2006. októberi matematika feladatai