Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3937. (October 2006)

B. 3937. A triangle is made by soldering three thin metal rods of length 8, 15 and 17 cm together. A solid ball of radius 5 cm is put on this triangle frame held horizontally. In what ratio does the plane of the triangle divide the volume of the ball?

(4 pont)

Deadline expired on November 15, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Válasszuk a cm-t egységnek. Mivel 82+152=172, a háromszög derékszögű, területe t=8.15/2=60, kerülete pedig k=40. Ezek alapján beírt körének sugara r=2t/k=3, ekkora sugarú körben metszi tehát a háromszög S síkja az R=5 sugarú gömböt. A Pitagorasz-tétel szerint a gömb középpontja d=4 egység távolságra van az S síktól. Az S által levágott gömbszelet magassága tehát h=R-d=1, így a gömbszelet térfogata V1=h(3r2+h2)\pi/6=28\pi/6, míg az egész gömb térfogata V=4R3\pi/3=1000\pi/6. A keresett arány ezek szerint V1:(V-V1)=28:972=7:243.


Statistics:

309 students sent a solution.
4 points:188 students.
3 points:55 students.
2 points:32 students.
1 point:17 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2006