KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3938. (October 2006)

B. 3938. The sum of integers a_1,a_2,\ldots, a_{10} all greater than 1 is 2006. What is the minimal value of \binom{a_1}{2}+\cdots+ \binom{a_{10}}{2}?

(4 pont)

Deadline expired on 15 November 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Válasszuk meg az ai számokat oly módon, hogy a szóban forgó összeg a lehető legkisebb legyen. Ezt megtehetjük, hiszen a számokra adott feltétel nem üres, és az azt kielégítő számokra az összeg értéke pozitív egész szám. A számok közül ekkor bármely kettő legfeljebb 1-gyel tér el egymástól. Valóban, ha x és y szerepelne a számok között, és y\gex+2 lenne, akkor x-et 1-gyel növelve, y-t pedig 1-gyel csökkentve, az összeg a pozitív

{x\choose 2}+{y\choose 2}-{x+1\choose 2}-{y-1\choose 2}=y-1-x

mennyiséggel csökkenne, ami ellentmond a számok választásának.

A számok közül tehát ekkor 6 darab 201-gyel, 4 pedig 200-zal egyenlő. Az összeg lehetséges legkisebb értéke ezek szerint

6\cdot{201\choose 2}+4\cdot{200\choose 2}=(6\cdot 201+4\cdot 199)\cdot 100=
200200.


Statistics:

190 students sent a solution.
4 points:96 students.
3 points:41 students.
2 points:27 students.
1 point:14 students.
0 point:12 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley