Problem B. 3938. (October 2006)

B. 3938. The sum of integers $a_1,a_2,\ldots, a_{10}$ all greater than 1 is 2006. What is the minimal value of $\binom{a_1}{2}+\cdots+ \binom{a_{10}}{2}$ ?

(4 pont)

Deadline expired on November 15, 2006.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Válasszuk meg az a_i számokat oly módon, hogy a szóban forgó összeg a lehető legkisebb legyen. Ezt megtehetjük, hiszen a számokra adott feltétel nem üres, és az azt kielégítő számokra az összeg értéke pozitív egész szám. A számok közül ekkor bármely kettő legfeljebb 1-gyel tér el egymástól. Valóban, ha x és y szerepelne a számok között, és y $\ge$ x+2 lenne, akkor x-et 1-gyel növelve, y-t pedig 1-gyel csökkentve, az összeg a pozitív

${x\choose 2}+{y\choose 2}-{x+1\choose 2}-{y-1\choose 2}=y-1-x$

mennyiséggel csökkenne, ami ellentmond a számok választásának.

A számok közül tehát ekkor 6 darab 201-gyel, 4 pedig 200-zal egyenlő. Az összeg lehetséges legkisebb értéke ezek szerint

$6\cdot{201\choose 2}+4\cdot{200\choose 2}=(6\cdot 201+4\cdot 199)\cdot 100= 200200.$

Statistics:

190 students sent a solution.

4 points: 96 students.

3 points: 41 students.

2 points: 27 students.

1 point: 14 students.

0 point: 12 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2006

190 students sent a solution.
4 points:	96 students.
3 points:	41 students.
2 points:	27 students.
1 point:	14 students.
0 point:	12 students.

Already signed up?
New to KöMaL?