KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3939. (October 2006)

B. 3939. Find the angle encompassed by the hypotenuse of a right-angled triangle with circumference of 2 units, as seen from a point lying on the inner angle bisector of the right angle at a distance of \sqrt{2} from that vertex.

(4 pont)

Deadline expired on 15 November 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az ábra jelöléseit használva a+b+c=2 és a2+b2=c2, ahonnan a2+b2=(2-a-b)2, vagyis ab=2a+2b-2. Az ACD, illetve BCD háromszögekre a koszinusz-tételt felírva kapjuk, hogy

u2=b2-2b+2,  v2=a2-2a+2.

Ezért

u2v2=a2b2-2a2b-2ab2+4ab-4a-4b+4+2a2+2b2=

=a2b2-2ab(a+b)+4ab-2ab+2c2=ab(ab-2a-2b+2)+2c2=2c2,

ahonnan az ADB szög koszinuszára

\frac{u^2+v^2-c^2}{2uv}=\frac{4-2a-2b}{2uv}=\frac{c}{uv}=\frac{1}{\sqrt{2}}

adódik. A háromszög átfogója tehát 45o-os szög alatt látszik a D pontból.


Statistics:

139 students sent a solution.
4 points:104 students.
3 points:14 students.
2 points:4 students.
1 point:12 students.
0 point:5 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley