Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3941. (October 2006)

B. 3941. Find all positive rational triples (p;q;r) such that p+q+r, \frac{1}{p} +\frac{1}{q}
+\frac{1}{r} and pqr are all integers.

(5 pont)

Deadline expired on November 15, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A szóban forgó három számot jelölje rendre a,b,c. Ekkor pq+pr+qr=bc is egész szám, vagyis p,q,r éppen az

(x-p)(x-q)(x-r)=x3-ax2+bcx-c

egész együtthatós polinom három gyöke. Ennélfogva p,q,r egész számok. Valóban, ha az x=u/v racionális szám, ahol u,v relatív prímek, gyöke a fenti egyenletnek, akkor \frac{u^3}{v}=au^2-bcuv+cv^2, vagyis egész szám. Mivel u3 is relatív prím v-hez, ez csak a v=\pm1 esetben lehetséges. A keresett p,q,r számok tehát olyan pozitív egészek, melyeknek reciproköszege is egész; ez szükséges és elégséges is egyben.

Ezek meghatározásához tegyük fel először, hogy p\leq\ler. Nyilván p\le3, és ha p=3, akkor q=r=3 kell legyen. Ha p=2, akkor 1/q+1/r=1/2, ahonnan q=3, r=6 vagy q=r=4. Ha pedig p=1, akkor vagy q=r=1, vagy pedig 1/q+1/r=1, amikor is q=r=2. Ennek alapján az összes megfelelő (p;q;r) számhármas a következő: (1;1;1), (1;2;2), (2;1;2), (2;2;1), (2;4;4), (4;2;4), (4;4;2), (2;3;6), (2;6;3), (3;2;6), (3;6;2), (6;2;3), (6;3;2) és (3;3;3).


Statistics:

59 students sent a solution.
5 points:Almási 270 Gábor András, Aujeszky Tamás, Bodor Bertalan, Csaba Ákos, Dobribán Edgár, Kardos Kinga Gabriela, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Kristóf Panna, Kurgyis Eszter, Mercz Béla, Peregi Tamás, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szikszay László, Szűcs Gergely, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton, Wolosz János.
4 points:Éles András, Fegyverneki Tamás, Keresztfalvi Tibor, Kunos Ádám, Pálovics Róbert, Szőke Nóra, Tóth 796 Balázs.
3 points:4 students.
2 points:5 students.
1 point:8 students.
0 point:14 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2006