 |
A B. 3941. feladat (2006. október) |
B. 3941. Határozzuk meg az összes olyan (p;q;r) pozitív racionális számokból álló hármast, amelyre p+q+r, , pqr mindegyike egész szám.
(5 pont)
A beküldési határidő 2006. november 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A szóban forgó három számot jelölje rendre a,b,c. Ekkor pq+pr+qr=bc is egész szám, vagyis p,q,r éppen az
(x-p)(x-q)(x-r)=x3-ax2+bcx-c
egész együtthatós polinom három gyöke. Ennélfogva p,q,r egész számok. Valóban, ha az x=u/v racionális szám, ahol u,v relatív prímek, gyöke a fenti egyenletnek, akkor , vagyis egész szám. Mivel u3 is relatív prím v-hez, ez csak a v=
1 esetben lehetséges. A keresett p,q,r számok tehát olyan pozitív egészek, melyeknek reciproköszege is egész; ez szükséges és elégséges is egyben.
Ezek meghatározásához tegyük fel először, hogy p
qr. Nyilván p3, és ha p=3, akkor q=r=3 kell legyen. Ha p=2, akkor 1/q+1/r=1/2, ahonnan q=3, r=6 vagy q=r=4. Ha pedig p=1, akkor vagy q=r=1, vagy pedig 1/q+1/r=1, amikor is q=r=2. Ennek alapján az összes megfelelő (p;q;r) számhármas a következő: (1;1;1), (1;2;2), (2;1;2), (2;2;1), (2;4;4), (4;2;4), (4;4;2), (2;3;6), (2;6;3), (3;2;6), (3;6;2), (6;2;3), (6;3;2) és (3;3;3).
Statisztika:
59 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Almási 270 Gábor András, Aujeszky Tamás, Bodor Bertalan, Csaba Ákos, Dobribán Edgár, Kardos Kinga Gabriela, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Kristóf Panna, Kurgyis Eszter, Mercz Béla, Peregi Tamás, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szikszay László, Szűcs Gergely, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton, Wolosz János. 4 pontot kapott: Éles András, Fegyverneki Tamás, Keresztfalvi Tibor, Kunos Ádám, Pálovics Róbert, Szőke Nóra, Tóth 796 Balázs. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 14 versenyző.
A KöMaL 2006. októberi matematika feladatai