KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
A verseny állása
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3941. Határozzuk meg az összes olyan (p;q;r) pozitív racionális számokból álló hármast, amelyre p+q+r, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}, pqr mindegyike egész szám.

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. november 15-én LEJÁRT.


Megoldás. A szóban forgó három számot jelölje rendre a,b,c. Ekkor pq+pr+qr=bc is egész szám, vagyis p,q,r éppen az

(x-p)(x-q)(x-r)=x3-ax2+bcx-c

egész együtthatós polinom három gyöke. Ennélfogva p,q,r egész számok. Valóban, ha az x=u/v racionális szám, ahol u,v relatív prímek, gyöke a fenti egyenletnek, akkor \frac{u^3}{v}=au^2-bcuv+cv^2, vagyis egész szám. Mivel u3 is relatív prím v-hez, ez csak a v=\pm1 esetben lehetséges. A keresett p,q,r számok tehát olyan pozitív egészek, melyeknek reciproköszege is egész; ez szükséges és elégséges is egyben.

Ezek meghatározásához tegyük fel először, hogy p\leq\ler. Nyilván p\le3, és ha p=3, akkor q=r=3 kell legyen. Ha p=2, akkor 1/q+1/r=1/2, ahonnan q=3, r=6 vagy q=r=4. Ha pedig p=1, akkor vagy q=r=1, vagy pedig 1/q+1/r=1, amikor is q=r=2. Ennek alapján az összes megfelelő (p;q;r) számhármas a következő: (1;1;1), (1;2;2), (2;1;2), (2;2;1), (2;4;4), (4;2;4), (4;4;2), (2;3;6), (2;6;3), (3;2;6), (3;6;2), (6;2;3), (6;3;2) és (3;3;3).


A B. 3941. feladat statisztikája
59 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Almási 270 Gábor András, Aujeszky Tamás, Bodor Bertalan, Csaba Ákos, Dobribán Edgár, Kardos Kinga Gabriela, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Kristóf Panna, Kurgyis Eszter, Mercz Béla, Peregi Tamás, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szikszay László, Szűcs Gergely, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton, Wolosz János.
4 pontot kapott:Éles András, Fegyverneki Tamás, Keresztfalvi Tibor, Kunos Ádám, Pálovics Róbert, Szőke Nóra, Tóth 796 Balázs.
3 pontot kapott:4 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:8 versenyző.
0 pontot kapott:14 versenyző.


  • A KöMaL 2006. októberi matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap