Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3942. (November 2006)

B. 3942. Find all two-digit even numbers \overline{ab}, whose fifth powers end in \overline{ab}.

(Mathematics competition for teacher training colleges, 1973).

(3 pont)

Deadline expired on December 15, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A binomiális tétel szerint

(\overline{ab})^5=(10a+b)^5=(10a)^5+5(10a)^4b+10(10a)^3b^2+10(10a)^2b^3+
5(10a)b^4+b^5.

Itt az első négy tag nyilván osztható 100-zal, és az ötödik is, hiszen b páros szám. Tehát (\overline{ab})^5 utolsó két számjegye megegyezik b5 utolsó két számjegyével. Ha b 0 lenne, akkor innen a-ra is 0 adódna. Tehát b értéke 2,4,6 vagy 8 lehet, amikor is b5 utolsó két számjegye rendre 32, 24, 76, illetve 68, ezek lesznek tehát a megfelelő kétjegyű számok.


Statistics:

315 students sent a solution.
3 points:225 students.
2 points:41 students.
1 point:27 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:11 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2006