Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3944. (November 2006)

B. 3944. Sketch in the cartesian plane the region consisting of the points (x,y) such that \frac{x}{y}+\frac{1}{x}+y \ge \frac{y}{x}+\frac{1}{y}+x.

(3 pont)

Deadline expired on December 15, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Nyilván sem x, sem y értéke nem lehet 0. Közös nevezőre hozva, majd átrendezve az egyenlőtlenség így alakul:

f=\frac{(y-x)(x-1)(y-1)}{xy}\ge 0.

Tekintsük az y-x=0, x-1=0, y-1=0, x=0 és y=0 egyeneseket. Az f tört nem értelmezhető, ha a P(x,y) pont az utolsó két egyenes valamelyikére esik, és pontosan akkor 0 az f értéke, ha P az első három egyenes valamelyikére esik (de az utolsó kettő egyikére sem). Ennek alapján az első három egyenes három pontját kell kizárnunk.

Az öt egyenes a síkot 12 részre osztja. Minden egyes ilyen nyílt tartományon belül az f tört előjele állandó. Pontosan akkor lesz f>0, ha az y-x, x-1, y-1, x és y kifejezések közül páratlan sok pozitív, a többi pedig negatív. Ez a helyzet például a III. síknegyed y=0 és y=x egyenesek által határolt A tartományában, ahol csak y-x értéke lesz pozitív, az összes többi negatív. Ha két tartománynak van közös (véges vagy végtelen hosszú) határoló szakasza, akkor az egyiken pozitív, a másikon pedig negatív lesz f értéke. Ezek alapján a szóban forgó pontokan könnyen ábrázolhatjuk az A tartományból kiindulva.


Statistics:

157 students sent a solution.
3 points:57 students.
2 points:56 students.
1 point:30 students.
0 point:13 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2006