KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3944. (November 2006)

B. 3944. Sketch in the cartesian plane the region consisting of the points (x,y) such that \frac{x}{y}+\frac{1}{x}+y \ge \frac{y}{x}+\frac{1}{y}+x.

(3 pont)

Deadline expired on 15 December 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Nyilván sem x, sem y értéke nem lehet 0. Közös nevezőre hozva, majd átrendezve az egyenlőtlenség így alakul:

f=\frac{(y-x)(x-1)(y-1)}{xy}\ge 0.

Tekintsük az y-x=0, x-1=0, y-1=0, x=0 és y=0 egyeneseket. Az f tört nem értelmezhető, ha a P(x,y) pont az utolsó két egyenes valamelyikére esik, és pontosan akkor 0 az f értéke, ha P az első három egyenes valamelyikére esik (de az utolsó kettő egyikére sem). Ennek alapján az első három egyenes három pontját kell kizárnunk.

Az öt egyenes a síkot 12 részre osztja. Minden egyes ilyen nyílt tartományon belül az f tört előjele állandó. Pontosan akkor lesz f>0, ha az y-x, x-1, y-1, x és y kifejezések közül páratlan sok pozitív, a többi pedig negatív. Ez a helyzet például a III. síknegyed y=0 és y=x egyenesek által határolt A tartományában, ahol csak y-x értéke lesz pozitív, az összes többi negatív. Ha két tartománynak van közös (véges vagy végtelen hosszú) határoló szakasza, akkor az egyiken pozitív, a másikon pedig negatív lesz f értéke. Ezek alapján a szóban forgó pontokan könnyen ábrázolhatjuk az A tartományból kiindulva.


Statistics:

157 students sent a solution.
3 points:57 students.
2 points:56 students.
1 point:30 students.
0 point:13 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley