KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A B. 3944. feladat (2006. november)

B. 3944. Ábrázoljuk a derékszögű koordináta-rendszerben azokat az (x;y) valós számpárokat, amelyekre


\frac{x}{y}+\frac{1}{x}+y \ge \frac{y}{x}+\frac{1}{y}+x.

(3 pont)

A beküldési határidő 2006. december 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Nyilván sem x, sem y értéke nem lehet 0. Közös nevezőre hozva, majd átrendezve az egyenlőtlenség így alakul:

f=\frac{(y-x)(x-1)(y-1)}{xy}\ge 0.

Tekintsük az y-x=0, x-1=0, y-1=0, x=0 és y=0 egyeneseket. Az f tört nem értelmezhető, ha a P(x,y) pont az utolsó két egyenes valamelyikére esik, és pontosan akkor 0 az f értéke, ha P az első három egyenes valamelyikére esik (de az utolsó kettő egyikére sem). Ennek alapján az első három egyenes három pontját kell kizárnunk.

Az öt egyenes a síkot 12 részre osztja. Minden egyes ilyen nyílt tartományon belül az f tört előjele állandó. Pontosan akkor lesz f>0, ha az y-x, x-1, y-1, x és y kifejezések közül páratlan sok pozitív, a többi pedig negatív. Ez a helyzet például a III. síknegyed y=0 és y=x egyenesek által határolt A tartományában, ahol csak y-x értéke lesz pozitív, az összes többi negatív. Ha két tartománynak van közös (véges vagy végtelen hosszú) határoló szakasza, akkor az egyiken pozitív, a másikon pedig negatív lesz f értéke. Ezek alapján a szóban forgó pontokan könnyen ábrázolhatjuk az A tartományból kiindulva.


Statisztika:

157 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:57 versenyző.
2 pontot kapott:56 versenyző.
1 pontot kapott:30 versenyző.
0 pontot kapott:13 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley