KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3945. (November 2006)

B. 3945. Solve the following simultaneous equations: x3+y3+z3=8, x2+y2+z2=22, \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{z}{xy} =0.

(3 pont)

Deadline expired on December 15, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A 3 szám egyike sem lehet 0. Az utolsó egyenletet xyz-vel beszorozva yz+xz+xy+z2=0, vagyis (x+z)(y+z)=0, ami csak úgy lehet, ha valamelyik tényező 0, tehát x=-z, vagy y=-z. Az első esetben x3=-z3, vagyis az első egyenletből y=2, ezt a másodikba behelyettesítve x2+z2=2z2=18. Ekkor x=3,z=-3, vagy x=-3,z=3. Hasonlóképpen járhatunk el a másik esetben is, így kapjuk az egyenletrendszer következő 4 lehetséges megoldását: x1=3, y1=2, z1=-3, x2=-3, y2=2, z2=3, x3=2, y3=3, z3=-3, x4=2, y4=-3, z4=3. Ezek pedig valóban ki is elégítik mindhárom egyenletet.


Statistics:

234 students sent a solution.
3 points:114 students.
2 points:70 students.
1 point:19 students.
0 point:17 students.
Unfair, not evaluated:14 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley