Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3946. (November 2006)

B. 3946. The angle bisector drawn from vertex C of an acute angled triangle ABC intersects the opposite side at the point F. The feet of the perpendiculars drawn from the point F to the sides BC and CA are P and Q, respectively. Let M denote the intersection of the lines AP and BQ. Prove that AB and CM are perpendicular to each other.

(4 pont)

Deadline expired on December 15, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A szögfelező tétel miatt a szokásos jelölésekkel élve

AF=\frac{bc}{a+b}\quad \hbox{\rm és}\quad BF=\frac{ac}{a+b},

ahonnan

AQ=\frac{bc}{a+b}\cos\alpha\quad \hbox{\rm és}\quad
BP=\frac{ac}{a+b}\cos\beta.

Ha X a C-ből induló magasság talppontja, akkor AX=bcos \alpha és BX=acos \beta. Továbbá a CQF és CPF derékszögű háromszögek egybevágósága miatt CQ=CP. Mindezt összevetve

AX.BP.CQ=XB.PC.QA,

vagyis Ceva tételének megfordítása alapján az AP, BQ és CX szakaszok egy ponton mennek át, tehát a CM egyenes megegyezik a CX egyenessel.


Statistics:

44 students sent a solution.
4 points:Ábrók Levente, Aczél Gergely, Anda Roland, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Cséke Balázs, Dibuz Dániel, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Dobribán Edgár, Fonyó Dávid, Fridrik József Richárd, Gresits Iván, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Huszár Kristóf, Károlyi Gergely, Konkoly Csaba, Kornis Kristóf, Korom-Vellás Judit, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Mercz Béla, Németh Kitti Noémi, Ölvedi Tibor, Páldy Sándor, Salát Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szabó Levente, Szalóki Dávid, Szűcs Gergely, Tolner Ferenc, Tossenberger Anna, Vajsz Tibor, Véges Márton.
3 points:Ripszám Réka.
2 points:3 students.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2006