KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3948. a and b are real numbers, such that a2+4b2=4. What is the largest possible value of 3a5b-40a3b3+48ab5?

(Suggested by Z. Horváth, Veresegyház)

(4 points)

Deadline expired on 15 December 2006.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen c=a/2, ekkor a feltétel a c2+b2=1 alakba írható át, a feladatban szereplő kifejezés pedig

S=96c5b-320c3b3+96cb5=32cb(3c4-10c2b2+3b4)=

32cb\bigl(3(c^2+b^2)^2-16(c^2b^2)\bigr)=8X(3-X^2),

ahol X=4bc. Mivel \pm2cb\lec2+b2, kapjuk, hogy |X|\le2.

Tegyük fel először, hogy X és 3-X2 is nemnegatív. Az X(3-X2) kifejezés négyzetét viszgálhatjuk a számtani-mértani egyenlőtlenség segítségével:

(X(3-X^2))^2=4\Bigl(X^2\cdot \frac{3-X^2}{2}\cdot \frac{3-X^2}{2}\Bigr)\le
4\Biggl(\frac{X^2+\frac{3-X^2}{2}+\frac{3-X^2}{2}}{3}\Biggr)^3=4,

ahol egyenlőség csak az X2=1 esetben áll fenn. Ekkor tehát X(3-X2)\le2, és egyenlőség csak az X=1 esetben áll fenn. Ha X és 3-X2 közül pontosan az egyik nemnegatív, akkor S\le0. Végül ha X és 3-X2 is negatív, akkor X abszolút értékét növelve a szorzat értéke is nő, vagyis |X|\le2 miatt ismétcsak X(3-X2)\le2, ahol egyenlőség csak az X=-2 esetben áll fenn.

Azt kaptuk tehát, hogy S\le16, és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha cb=1/4 vagy cb=-1/2. A c2+b2=1 feltétel mellett létezik ilyen c,b pár: c=1/\sqrt{2}, b=-1/\sqrt{2}. Az S kifejezés legnagyobb lehetséges értéke tehát 16, és könnyen meg is határozhatnánk az összes a,b párt, amelyre S ezt az értéket felveszi.


Statistics on problem B. 3948.
128 students sent a solution.
4 points:Almási 270 Gábor András, Árvay Anna, Bartha Zsolt, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Csaba Ákos, Dékány Tamás, Elekes Csaba, Éles András, Fonyó Dávid, Fridrik József Richárd, Gévay Gábor, Gombor Tamás, Grósz Dániel, Herber Máté, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Huszár Kristóf, Kardos Kinga Gabriela, Keresztfalvi Tibor, Kocsis Hajnalka, Konkoly Csaba, Kovács 333 Veronika, Kriván Bálint, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Kurgyis Eszter, Kurgyis Kata, Lovas Lia Izabella, Nagy 648 Donát, Paál Gergely, Páldy Sándor, Peregi Tamás, Püsök László, Ripszám Réka, Somogyi Ákos, Sümegi Károly, Szalai Zsófia, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szikszay László, Szudi László, Tallián György, Tóth 666 László Márton, Véges Márton, Weisz 111 István, Wolosz János.
3 points:20 students.
2 points:18 students.
1 point:5 students.
0 point:34 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2006

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley