KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
A verseny állása
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3948. A valós a, b számokra teljesül, hogy a2+4b2=4. Milyen nagy lehet 3a5b-40a3b3+48ab5?

Javasolta: Horváth Zoltán, Veresegyház

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. december 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen c=a/2, ekkor a feltétel a c2+b2=1 alakba írható át, a feladatban szereplő kifejezés pedig

S=96c5b-320c3b3+96cb5=32cb(3c4-10c2b2+3b4)=

32cb\bigl(3(c^2+b^2)^2-16(c^2b^2)\bigr)=8X(3-X^2),

ahol X=4bc. Mivel \pm2cb\lec2+b2, kapjuk, hogy |X|\le2.

Tegyük fel először, hogy X és 3-X2 is nemnegatív. Az X(3-X2) kifejezés négyzetét viszgálhatjuk a számtani-mértani egyenlőtlenség segítségével:

(X(3-X^2))^2=4\Bigl(X^2\cdot \frac{3-X^2}{2}\cdot \frac{3-X^2}{2}\Bigr)\le
4\Biggl(\frac{X^2+\frac{3-X^2}{2}+\frac{3-X^2}{2}}{3}\Biggr)^3=4,

ahol egyenlőség csak az X2=1 esetben áll fenn. Ekkor tehát X(3-X2)\le2, és egyenlőség csak az X=1 esetben áll fenn. Ha X és 3-X2 közül pontosan az egyik nemnegatív, akkor S\le0. Végül ha X és 3-X2 is negatív, akkor X abszolút értékét növelve a szorzat értéke is nő, vagyis |X|\le2 miatt ismétcsak X(3-X2)\le2, ahol egyenlőség csak az X=-2 esetben áll fenn.

Azt kaptuk tehát, hogy S\le16, és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha cb=1/4 vagy cb=-1/2. A c2+b2=1 feltétel mellett létezik ilyen c,b pár: c=1/\sqrt{2}, b=-1/\sqrt{2}. Az S kifejezés legnagyobb lehetséges értéke tehát 16, és könnyen meg is határozhatnánk az összes a,b párt, amelyre S ezt az értéket felveszi.


A B. 3948. feladat statisztikája
128 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Almási 270 Gábor András, Árvay Anna, Bartha Zsolt, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Csaba Ákos, Dékány Tamás, Elekes Csaba, Éles András, Fonyó Dávid, Fridrik József Richárd, Gévay Gábor, Gombor Tamás, Grósz Dániel, Herber Máté, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Huszár Kristóf, Kardos Kinga Gabriela, Keresztfalvi Tibor, Kocsis Hajnalka, Konkoly Csaba, Kovács 333 Veronika, Kriván Bálint, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Kurgyis Eszter, Kurgyis Kata, Lovas Lia Izabella, Nagy 648 Donát, Paál Gergely, Páldy Sándor, Peregi Tamás, Püsök László, Ripszám Réka, Somogyi Ákos, Sümegi Károly, Szalai Zsófia, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szikszay László, Szudi László, Tallián György, Tóth 666 László Márton, Véges Márton, Weisz 111 István, Wolosz János.
3 pontot kapott:20 versenyző.
2 pontot kapott:18 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:34 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.


  • A KöMaL 2006. novemberi matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap