KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3951. Let a, b, n, k be positive integers, such that n is odd, p is an odd prime number, and an+bn=pk. Prove that n is a power of p with a non-negative integer exponent.

(5 points)

Deadline expired on 15 February 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Ha a és b legnagyobb közös osztója d, akkor (a/d)n+(b/d)n=pk/dn 1-nél nagyobb egész szám, vagyis p^k/d^n=p^\ell, ahol \ell pozitív egész szám. Ezért elég az állítást abban az esetben igazolni, ha a és b relatív prímek. Ha a és b közül valamelyik, mondjuk a osztható lenne p-vel, akkor bn, vagyis b is osztható lenne p-vel. Feltehetjük tehát, hogy sem a, sem b nem osztható p-vel.

Ezen feltevés mellett legyen n=p^\alpha t, ahol \alpha nemnegatív egész szám, t pedig olyan páratlan pozitív egész szám, amely p-vel nem osztható. Azt kell megmutatnunk, hogy ekkor t=1. Tegyük fel ezzel ellentétben, hogy t>1. Ekkor az A=an/t, B=bn/t pozitív egész számokra At+Bt=pk, továbbá A és B nem osztható p-vel. Nem lehet A=B=1, hiszen akkor p=2, k=1 lenne (ez az a pont, ahol kihasználjuk p páratlan voltát), ezért A+B az At+Bt szám valódi osztója. Alkalmas 0<i<k egész számmal tehát A+B=pi, és így az

A^t+B^t=(A+B)(A^{t-1}-A^{t-2}B+A^{t-3}B^2-\ldots+B^{t-1})

azonosság miatt

A^{t-1}-A^{t-2}(p^i-A)+A^{t-3}(p^i-A)^2-\ldots+(p^i-A)^{t-1}=p^{k-i}

adódik. A baloldalon álló számot alkalmas N egész számmal tAt-1+piN alakba írhatjuk át. Mivel sem t, sem A nem osztható p-vel, a baloldalon álló szám sem osztható p-vel, ellentétben a jobb oldalon álló pk-i számmal. Ez az ellentmondás bizonyítja, hogy valóban t=1, n=p^\alpha.


Statistics on problem B. 3951.
63 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Dinh Van Anh, Kunos Ádám, Nagy 648 Donát, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Varga 171 László, Wolosz János.
4 points:Blázsik Zoltán, Dobribán Edgár, Éles András, Páldy Sándor, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Véges Márton.
3 points:6 students.
2 points:3 students.
1 point:3 students.
0 point:36 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley