KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3954. (December 2006)

B. 3954. Solve the following simultaneous equations:

x^2 - 4\sqrt{3x-2} + 6 = y,

y^2 - 4\sqrt{3y-2}+6 = x.

(Source: Hungarian Mathematics Competitions Across the Border, by Gy. Oláh)

(4 pont)

Deadline expired on 15 January 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen f(x)=x^2 - 4\sqrt{3x-2} + 6, ez pontosan x\ge2/3 esetén van értelmezve. Megmutatjuk, hogy az értelmezési tartomány minden x pontjában f(x)\gex, és egyenlőség csakis x=2 esetén teljesül. Mivel az egyenletrendszer f(x)=y,f(y)=x alakú, vagyis f(f(x))=x és f(f(y))=y, az egyenletrendszert emiatt csakis az x=y=2 számpár elégítheti ki, és az ki is elégíti.

A bizonyítandó f(x)\gex egyenlőtlenséget hozzuk

x^2-x+6\ge 4\sqrt{3x-2}

alakra. Itt x2-x+6 minden x valós számra pozitív, ezért x\ge2/3 esetén f(x)\gex ekvivalens az

(x2-x+6)\ge16(3x-2)

egyenlőtlenséggel, amit

x4-2x3+13x2-60x+68\ge0

alakba írhatunk át. A baloldali kifejezésből az x-2 tényezőt egymás után kétszer kiemelve azt (x-2)2(x2+2x+17) alakra hozhatjuk, amiről látszik, hogy mindig nemnegatív, és a 0 értéket csak x=2 esetén veszi fel.


Statistics:

145 students sent a solution.
4 points:70 students.
3 points:37 students.
2 points:21 students.
1 point:7 students.
0 point:10 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley