Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3955. (December 2006)

B. 3955. In a theatre performance of Hamlet, Acts 2 to 5 are played in a part of the auditorium chosen at random by means of a draw. The stalls are divided into four sectors. The part of the audience with seats in the sector selected will move to another sector, taking also their chairs with them. Provided that each of the four sectors are large enough (that is, if one chooses a sector, then there will always be enough space for one's chair there) and assuming that each sector is equally likely to be chosen, what is the proportion between the probabilities that one needs to move twice during the play or only once?

(4 pont)

Deadline expired on January 15, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: 4 sorsolás történik. Minden egyes alkalommal - függetlenül attól, hogy most hol ülünk, illetve hogy költöztünk-e korábban, vagy sem, és ha igen, mikor hova - pontosan 1/4 annak a valószínűsége, hogy költöznünk kell, és 3/4 annak, hogy maradhatunk. Annak a valószínűsége, hogy az első sorsolás alkalmával költöznünk kell, de a többinél nem, éppen (1/4)(3/4)3. Ugyanennyi a valószínűsége annak is, hogy a második sorsolás alkalmával kell költöznünk, de a többinél nem, és hasonló a helyezet a 3. és 4. sorsolással is. Mivel ez a négy esemény páronként kizárja egymást, annak a valószínűsége, hogy pontosan egyszer kell költöznünk, p(1)=4(1/4)(3/4)3=108/44.

Az, hogy a 4 alkalomból pontosan kétszer kell költözünk, 6-féleképpen történhet aszerint, hogy a költözések melyik felvonás előtt történnek. Mindegyik ilyen esemény (pl. hogy pont az utolsó két felvonás előtt kell költözni) valószínűsége egyaránt (1/4)2(3/4)2. Annak valószínűsége tehát, hogy pontosan kétszer kell költöznünk, p(2)=6(1/4)2(3/4)2=54/44, ami éppen a p(1) valószínűség fele. Vagyis 1/2-szer akkora annak a valószínűsége, hogy kétszer kell költöznünk, mint annak, hogy csak egyszer.


141 students sent a solution.
4 points:70 students.
3 points:18 students.
2 points:7 students.
1 point:6 students.
0 point:38 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2006