KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3957. (December 2006)

B. 3957. D is an interior point of the side AB of a triangle ABC. The inscribed circle of the triangle ABC touches the side AB at the point P. The inscribed circles of the triangles ADC and DBC are touching the side DC at Q and R, respectively. Show that DP=QR.

(3 pont)

Deadline expired on 15 January 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Jelöljük a háromszög oldalait szokás szerint a,b,c-vel, az CD szakasz hosszát d-vel. Legyen továbbá AD=a', BD=b', és érintse az ABC háromszög beírt köre az AC oldalt az S, a BC oldalt pedig az T pontban. Ekkor AP+BP=c valamint AP-BP=AS-BT=b-a, ahonnan AP=(c+b-a)/2, vagyis

DP=\Bigl| a'-\frac{c+b-a}{2}\Bigr|=\frac{|2a'-b-c+a|}{2}=
\frac{|a'-b'-b+a|}{2},

hiszen a'+b'=c. Ugyanilyen gondolatmenettel kapjuk, hogy DQ=(d+a'-b)/2 és DR=(d+b'-a)/2, ahonnan

QR=|DQ-DR|=\Bigl| \frac{d+a'-b}{2}-\frac{d+b'-a}{2}\Bigr|=
\frac{|a'-b-b'+a|}{2}=DP.


Statistics:

100 students sent a solution.
3 points:Almási 270 Gábor András, Balla Attila, Bartha Zsolt, Bujtás László, Dinh Van Anh, Éles András, Fonyó Dávid, Kis-Benedek Ágnes, Kriván Bálint, Kunos Ádám, Mészáros András, Nagy 314 Dániel, Németh Kitti Noémi, Peregi Tamás, Rózsa Levente, Szalkai Balázs, Szigetvári Áron, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Vincze Ákos, Wagner Zsolt.
2 points:68 students.
1 point:6 students.
0 point:5 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley