Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3957. (December 2006)

B. 3957. D is an interior point of the side AB of a triangle ABC. The inscribed circle of the triangle ABC touches the side AB at the point P. The inscribed circles of the triangles ADC and DBC are touching the side DC at Q and R, respectively. Show that DP=QR.

(3 pont)

Deadline expired on January 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Jelöljük a háromszög oldalait szokás szerint a,b,c-vel, az CD szakasz hosszát d-vel. Legyen továbbá AD=a', BD=b', és érintse az ABC háromszög beírt köre az AC oldalt az S, a BC oldalt pedig az T pontban. Ekkor AP+BP=c valamint AP-BP=AS-BT=b-a, ahonnan AP=(c+b-a)/2, vagyis

DP=\Bigl| a'-\frac{c+b-a}{2}\Bigr|=\frac{|2a'-b-c+a|}{2}=
\frac{|a'-b'-b+a|}{2},

hiszen a'+b'=c. Ugyanilyen gondolatmenettel kapjuk, hogy DQ=(d+a'-b)/2 és DR=(d+b'-a)/2, ahonnan

QR=|DQ-DR|=\Bigl| \frac{d+a'-b}{2}-\frac{d+b'-a}{2}\Bigr|=
\frac{|a'-b-b'+a|}{2}=DP.


Statistics:

100 students sent a solution.
3 points:Almási 270 Gábor András, Balla Attila, Bartha Zsolt, Bujtás László, Dinh Van Anh, Éles András, Fonyó Dávid, Kis-Benedek Ágnes, Kriván Bálint, Kunos Ádám, Mészáros András, Nagy 314 Dániel, Németh Kitti Noémi, Peregi Tamás, Rózsa Levente, Szalkai Balázs, Szigetvári Áron, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Vincze Ákos, Wagner Zsolt.
2 points:68 students.
1 point:6 students.
0 point:5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2006