Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3959. (December 2006)

B. 3959. Let K be an arbitrary point inside the triangle A1A2A3 and denote the centroid of the triangle KAjAkAs by Si (i=1,2,3,). Prove that the line segments AiSi are concurrent.

(4 pont)

Deadline expired on January 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Vegyünk fel a háromszög H síkján kívül egy K' pontot, amelynek H-ra való merőleges vetülete éppen a K pont. Ha a K'AjAk háromszög súlypontja S'i, az AjAk szakasz felezőpontja pedig Fi, akkor Si éppen a KFi szakasz Fi-hez közelebbi harmadolópontja, S'i pedig a K'Fi szakasz Fi-hez közelebbi harmadolópontja. A K'KFi háromszöget tehát Fi középpontú 1/3 arányú hasonlóság viszi az S'iSiFi háromszögbe, ezért K'K párhuzamos az S'iSi szakasszal, vagyis Si éppen az S'i pont merőleges vetülete a H síkra. Az AiS'i szakaszok egy közös S ponton haladnak át, amely az A1A2A3K' tetraéder súlypontja. Ezért az ASi szakaszok, melyek az előbbi szakaszok H-ra való vetületei, szintén egy ponton mennek át, mégpedig az S pontnak a H síkra való merőleges vetületén.


Statistics:

86 students sent a solution.
4 points:75 students.
3 points:4 students.
2 points:2 students.
1 point:2 students.
0 point:3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2006