B. 3959. Jelölje K az A₁A₂A₃ háromszög tetszőleges belső pontját. Legyen S_i (i=1,2,3) a KA_jA_k háromszög súlypontja. Bizonyítsuk be, hogy az A_iS_i szakaszok egy ponton haladnak át.

(4 pont)

A beküldési határidő LEJÁRT.

Megoldás: Vegyünk fel a háromszög H síkján kívül egy K' pontot, amelynek H-ra való merőleges vetülete éppen a K pont. Ha a K'A_jA_k háromszög súlypontja S'_i, az A_jA_k szakasz felezőpontja pedig F_i, akkor S_i éppen a KF_i szakasz F_i-hez közelebbi harmadolópontja, S'_i pedig a K'F_i szakasz F_i-hez közelebbi harmadolópontja. A K'KF_i háromszöget tehát F_i középpontú 1/3 arányú hasonlóság viszi az S'_iS_iF_i háromszögbe, ezért K'K párhuzamos az S'_iS_i szakasszal, vagyis S_i éppen az S'_i pont merőleges vetülete a H síkra. Az A_iS'_i szakaszok egy közös S ponton haladnak át, amely az A₁A₂A₃K' tetraéder súlypontja. Ezért az AS_i szakaszok, melyek az előbbi szakaszok H-ra való vetületei, szintén egy ponton mennek át, mégpedig az S pontnak a H síkra való merőleges vetületén.

A B. 3959. feladat statisztikája 86 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 75 versenyző. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.