KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A B. 3959. feladat (2006. december)

B. 3959. Jelölje K az A1A2A3 háromszög tetszőleges belső pontját. Legyen Si (i=1,2,3) a KAjAk háromszög súlypontja. Bizonyítsuk be, hogy az AiSi szakaszok egy ponton haladnak át.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. január 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Vegyünk fel a háromszög H síkján kívül egy K' pontot, amelynek H-ra való merőleges vetülete éppen a K pont. Ha a K'AjAk háromszög súlypontja S'i, az AjAk szakasz felezőpontja pedig Fi, akkor Si éppen a KFi szakasz Fi-hez közelebbi harmadolópontja, S'i pedig a K'Fi szakasz Fi-hez közelebbi harmadolópontja. A K'KFi háromszöget tehát Fi középpontú 1/3 arányú hasonlóság viszi az S'iSiFi háromszögbe, ezért K'K párhuzamos az S'iSi szakasszal, vagyis Si éppen az S'i pont merőleges vetülete a H síkra. Az AiS'i szakaszok egy közös S ponton haladnak át, amely az A1A2A3K' tetraéder súlypontja. Ezért az ASi szakaszok, melyek az előbbi szakaszok H-ra való vetületei, szintén egy ponton mennek át, mégpedig az S pontnak a H síkra való merőleges vetületén.


Statisztika:

86 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:75 versenyző.
3 pontot kapott:4 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley