KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3960. Draw perpendiculars to the real axis of a hyperbola at its endpoints. Let P and Q denote the intersections of these perpendiculars with an arbitrary tangent to the curve, respectively. Prove that the line segment PQ subtends right angles at the foci.

(Suggested by I. Vajda, Budapest)

(5 points)

Deadline expired on 15 January 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Alkalmas derékszögű koordinátarendszerben a hiperbola egyenlete

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.

Ekkor a fókuszpontok F_1(-\sqrt{a^2+b^2};0) és F_2(\sqrt{a^2+b^2};0), a valós tengely végpontjai (-a;0) és (a,0), az ezen pontokban a tengelyre állított merőlegesek egyenlete pedig x=-a, illetve x=a. Legyen a szóban forgó érintő egyenlete Ax+By+C=0, ekkor a2A2-b2B2=C2, a metszéspontok P(-a;p), Q(a;q) koordinátáira pedig

p=\frac{-C+aA}{B},\quad q=\frac{-C-aA}{B},

ahonnan a PQ szakasz felezőpontja M=(0;-C/B).

Thalesz tétele értelmében elegendő azt belátni, hogy a két fókuszpont a PQ átmérőjű körvonalra esik, vagyis hogy MP=MQ=MF1=MF2. Itt

MP^2=MQ^2=a^2+\Bigl(p-\frac{-C}{B}\Bigr)^2=a^2+\Bigl(\frac{aA}{B}\Bigr)^2

és

MF_1^2=MF_2^2=(a^2+b^2)+\Bigl(\frac{C}{B}\Bigr)^2,

vagyis a bizonyítandó állítás ekvivalens az

a^2+\frac{a^2A^2}{B^2}=a^2+b^2+\frac{C^2}{B^2}

egyenlőséggel, amit viszont beszorzás és rendezés után a már látott a2A2-b2B2=C2 alakra hozhatunk.


Statistics on problem B. 3960.
50 students sent a solution.
5 points:Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Fridrik József Richárd, Kardos Kinga Gabriela, Szalóki Dávid, Wolosz János.
4 points:Anda Roland, Bakacsi Péter, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bozi Veronika, Csizmadija Laura, Fegyverneki Tamás, Findrik Dénes, Fonyó Dávid, Földi Sándor, Grósz Dániel, Havasy András, Horváth 385 Vanda, Kemenes Sarolta, Kornis Kristóf, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Peregi Tamás, Pintér Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szalkai Balázs, Szathmáry Anna, Szikszay László, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tossenberger Anna, Véges Márton.
3 points:10 students.
2 points:4 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2006

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley