Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3960. (December 2006)

B. 3960. Draw perpendiculars to the real axis of a hyperbola at its endpoints. Let P and Q denote the intersections of these perpendiculars with an arbitrary tangent to the curve, respectively. Prove that the line segment PQ subtends right angles at the foci.

(Suggested by I. Vajda, Budapest)

(5 pont)

Deadline expired on January 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Alkalmas derékszögű koordinátarendszerben a hiperbola egyenlete

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.

Ekkor a fókuszpontok F_1(-\sqrt{a^2+b^2};0) és F_2(\sqrt{a^2+b^2};0), a valós tengely végpontjai (-a;0) és (a,0), az ezen pontokban a tengelyre állított merőlegesek egyenlete pedig x=-a, illetve x=a. Legyen a szóban forgó érintő egyenlete Ax+By+C=0, ekkor a2A2-b2B2=C2, a metszéspontok P(-a;p), Q(a;q) koordinátáira pedig

p=\frac{-C+aA}{B},\quad q=\frac{-C-aA}{B},

ahonnan a PQ szakasz felezőpontja M=(0;-C/B).

Thalesz tétele értelmében elegendő azt belátni, hogy a két fókuszpont a PQ átmérőjű körvonalra esik, vagyis hogy MP=MQ=MF1=MF2. Itt

MP^2=MQ^2=a^2+\Bigl(p-\frac{-C}{B}\Bigr)^2=a^2+\Bigl(\frac{aA}{B}\Bigr)^2

és

MF_1^2=MF_2^2=(a^2+b^2)+\Bigl(\frac{C}{B}\Bigr)^2,

vagyis a bizonyítandó állítás ekvivalens az

a^2+\frac{a^2A^2}{B^2}=a^2+b^2+\frac{C^2}{B^2}

egyenlőséggel, amit viszont beszorzás és rendezés után a már látott a2A2-b2B2=C2 alakra hozhatunk.


Statistics:

50 students sent a solution.
5 points:Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Fridrik József Richárd, Kardos Kinga Gabriela, Szalóki Dávid, Wolosz János.
4 points:Anda Roland, Bakacsi Péter, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bozi Veronika, Csizmadija Laura, Fegyverneki Tamás, Findrik Dénes, Fonyó Dávid, Földi Sándor, Grósz Dániel, Havasy András, Horváth 385 Vanda, Kemenes Sarolta, Kornis Kristóf, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Peregi Tamás, Pintér Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szalkai Balázs, Szathmáry Anna, Szikszay László, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tossenberger Anna, Véges Márton.
3 points:10 students.
2 points:4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2006