KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3961. (December 2006)

B. 3961. Let a and b denote positive integers, such that an+n divides bn+n for all positive integers n. Prove that a=b.

(5 pont)

Deadline expired on 15 January 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Mivel végtelen sok prímszám van, létezik végtelen sok olyan p_1,p_2,\ldots prímszám is, melyek nem osztói sem a-nak, sem b-nek. Ha tehát valamely i-re p=pi, akkor a kis Fermat tétel értelmében ap-1 és bp-1 is 1 maradékot ad p-vel osztva, sőt bármilyen pozitív k egész számra igaz, hogy a^{k(p-1)}\equiv b^{k(p-1)}\equiv 1\pmod{p}. Ennélfogva minden

n\in N=\{(p-1)+1, 2(p-1)+1,\ldots,p(p-1)+1\}

esetén igaz, hogy a^n\equiv a\pmod{p} és b^n\equiv b\pmod{p}.

N elemei közül bármely kettő különbsége k(p-1) alakba írható valamely 1 és p-1 közé eső k egész számmal, tehát nem lehet p-vel osztható. Ezért az N halmaz p eleme mind különböző maradékot ad p-vel osztva, vagyis ezen maradékok között az összes lehetséges maradék előfordul, amely p-vel való osztásnál keletkezhet. Van tehát egy olyan n\inN, amelyre n p-vel osztva ugyanolyan maradékot ad, mint -a, vagyis a+n osztható p-vel. Mivel an-a is osztható p-vel, kapjuk hogy an+n, és így bn+n, következésképpen b+n is osztható p-vel. Ebből viszont már következik, hogy b-a is osztható p-vel.

A b-a szám tehát osztható a végtelen sok p_1,p_2,\ldots prímszám mindegyikével, következésképpen csak 0 lehet, vagyis valóban a=b.


Statistics:

16 students sent a solution.
5 points:Bodor Bertalan, Szűcs Gergely.
2 points:4 students.
0 point:10 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley