KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 3963. A counter is travelling from the lower left corner to the upper right corner of the chessboard. It moves either one field to the right or one field up in each step. How many routes are there that pass through at least one of the four fields at the centre?

(4 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Ha az útvonal áthalad a D mezőn, akkor vagy a B-n, vagy a C-n át kell haladnia. A B mezőre vagy az A-ról, vagy az E-ről léphet, a C-re pedig A-ról vagy F-ről. Azt kell tehát összeszámolni, hány olyan útvonal van, amely a) áthalad A-n, vagy b) áthalad E-n és B-n, vagy c) áthalad F-en és C-n. Ez az átfogalmazás azért hasznos, mert a három eset páronként kizárja egymást. Szimmetria okok miatt pedig a c) esetben pontosan ugyanannyi úvonalat számolhatunk össze, mint a b) esetben.

A bal alsó saroktól az A mezőig 6 lépés alatt juthatunk el, ebből pontosan 3-szor kell jobbra lépnunk (és 3-szor felfelé), erre tehát {6\choose 3}=20 lehetőségünk van. Hasonlóképpen, ha az A-ból el szeretnénk jutni a jobb fölső sarokba, akkor az ehhez szükséges 8 lépésből pontosan 4-szer kell jobbra lépnünk, a lehetőségek száma tehát {8\choose 4}=70. Az a) esetben tehát 20.70=1400 különböző útvonalat számolhatunk össze.

A b) esetre térve, a bal alsó sarokból E-be {6\choose 4}=15 féleképp juthatunk el, innen át kell lépnünk B-re, onnan a jobb fölső sarokba pedig {7\choose 3}=35 féleképpen haladhatunk tovább, vagyis összesen 15.35 ilyen útvonal van, akárcsak a c) esetben.

Az összes lehetséges útvonal száma tehát

20.70+2.15.35=35.70=2450.


Statistics on problem B. 3963.
268 students sent a solution.
4 points:217 students.
3 points:15 students.
2 points:10 students.
1 point:8 students.
0 point:16 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2007

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program