Problem B. 3966. (January 2007)
B. 3966. In the chess tournament of a school, everyone played everyone else exactly once. Every player gained the same number of points playing against girls as playing against boys. Prove that the number of the participants is a perfect square. (1 point is due for winning, 0,5 for a draw, and 0 for losing.)
(5 pont)
Deadline expired on February 15, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Legyen a lányok száma L, a fiúké F. Jelölje továbbá , f, d a lányok és fiúk között lezajlott LF játék közül rendre azok számát, amelyek női győzelemmel, férfi győzelemmel, illetve döntetlennel végződtek. Mivel minden mérkőzésen összesen 1 pontot osztanak ki, LF=+f+d. A lányok egymás között játékot játszottak, tehát a fiúk ellen is ennyi pontot szereztek összesen, vagyis . Ugyanilyen alapon . A három egyenlőséget összevetve kapjuk, hogy
ahonnan L(L-1)+F(F-1)=2LF, vagyis L+F=L2-2LF+F2=(L-F)2. A résztvevők száma, L+F tehát valóban négyzetszám.
Statistics:
86 students sent a solution. 5 points: 71 students. 4 points: 11 students. 3 points: 2 students. 1 point: 1 student. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2007