KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3967. (January 2007)

B. 3967. Construct with ruler and compass, a triangle given is an angle and the lengths of the altitude and the median drawn from the vertex of that angle.

(4 pont)

Deadline expired on 15 February 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az ABC háromszögben adott a BAC szög (\alpha), az AM magasság (ma) és az AF súlyvonal (sa). A szerkeszthetőség szükséges feltétele sa\gema. Mint látni fogjuk, ez elégséges feltétel is, melynek teljesülése esetén az ABC háromszög egybevégóság erejéig egyértelműen megszerkeszthető. Ha sa=ma, akkor az egyenlőszárú ABC háromszög megszerkesztéséhez az AF szakasszal \alpha/2 szöget bezáró félegyeneseket szerkesztünk, melyek végpontja A, a B,C pontokat az AF szakaszra annak F végpontjában állított merőleges metszi ki ezen félegyenesekből.

A továbbiakban feltesszük, hogy sa>ma, vagyis M\neF, és hogy a B csúcs az FM félegyensre esik. Az AFM derékszögű megszerkesztésével nyert AFM szöget jelölje \delta. Egy tetszőlegesen felvett B'C' szakaszra az ABC-hez hasonló A'B'C' háromszöget úgy szerkeszthetjük meg, hogy B'C' fölé \alpha szögű látókörívet szerkesztünk, majd ezt elmetsszük azzal a félegyenessel, amely a B'C' szakasz F' felezőpontjából indul és az F'B' félegyenessel \delta szöget zár be. Így kapjuk az A=A' pontot, majd az A'B'C' háromszöget megfelelő arányban nagyítva az ABC háromszöget: az AF' félegyenesre A-ból az AF=sa szakaszt felmérve és F-en át B'C'-vel párhuzamost húzva, az az A'B' és A'C' félegyenesekből kimetszi a B, C pontokat.


Statistics:

>
165 students sent a solution.
4 points:104 students.
3 points:24 students.
2 points:19 students.
1 point:11 students.
0 point:7 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley