B. 3967. Construct with ruler and compass, a triangle given is an angle and the lengths of the altitude and the median drawn from the vertex of that angle.

(4 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: Az ABC háromszögben adott a BAC szög (), az AM magasság (m_a) és az AF súlyvonal (s_a). A szerkeszthetőség szükséges feltétele s_am_a. Mint látni fogjuk, ez elégséges feltétel is, melynek teljesülése esetén az ABC háromszög egybevégóság erejéig egyértelműen megszerkeszthető. Ha s_a=m_a, akkor az egyenlőszárú ABC háromszög megszerkesztéséhez az AF szakasszal /2 szöget bezáró félegyeneseket szerkesztünk, melyek végpontja A, a B,C pontokat az AF szakaszra annak F végpontjában állított merőleges metszi ki ezen félegyenesekből.

A továbbiakban feltesszük, hogy s_a>m_a, vagyis MF, és hogy a B csúcs az FM félegyensre esik. Az AFM derékszögű megszerkesztésével nyert AFM szöget jelölje . Egy tetszőlegesen felvett B'C' szakaszra az ABC-hez hasonló A'B'C' háromszöget úgy szerkeszthetjük meg, hogy B'C' fölé szögű látókörívet szerkesztünk, majd ezt elmetsszük azzal a félegyenessel, amely a B'C' szakasz F' felezőpontjából indul és az F'B' félegyenessel szöget zár be. Így kapjuk az A=A' pontot, majd az A'B'C' háromszöget megfelelő arányban nagyítva az ABC háromszöget: az AF' félegyenesre A-ból az AF=s_a szakaszt felmérve és F-en át B'C'-vel párhuzamost húzva, az az A'B' és A'C' félegyenesekből kimetszi a B, C pontokat.

Statistics on problem B. 3967. 165 students sent a solution. 4 points: 104 students. 3 points: 24 students. 2 points: 19 students. 1 point: 11 students. 0 point: 7 students.