Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3967. (January 2007)

B. 3967. Construct with ruler and compass, a triangle given is an angle and the lengths of the altitude and the median drawn from the vertex of that angle.

(4 pont)

Deadline expired on February 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az ABC háromszögben adott a BAC szög (\alpha), az AM magasság (ma) és az AF súlyvonal (sa). A szerkeszthetőség szükséges feltétele sa\gema. Mint látni fogjuk, ez elégséges feltétel is, melynek teljesülése esetén az ABC háromszög egybevégóság erejéig egyértelműen megszerkeszthető. Ha sa=ma, akkor az egyenlőszárú ABC háromszög megszerkesztéséhez az AF szakasszal \alpha/2 szöget bezáró félegyeneseket szerkesztünk, melyek végpontja A, a B,C pontokat az AF szakaszra annak F végpontjában állított merőleges metszi ki ezen félegyenesekből.

A továbbiakban feltesszük, hogy sa>ma, vagyis M\neF, és hogy a B csúcs az FM félegyensre esik. Az AFM derékszögű megszerkesztésével nyert AFM szöget jelölje \delta. Egy tetszőlegesen felvett B'C' szakaszra az ABC-hez hasonló A'B'C' háromszöget úgy szerkeszthetjük meg, hogy B'C' fölé \alpha szögű látókörívet szerkesztünk, majd ezt elmetsszük azzal a félegyenessel, amely a B'C' szakasz F' felezőpontjából indul és az F'B' félegyenessel \delta szöget zár be. Így kapjuk az A=A' pontot, majd az A'B'C' háromszöget megfelelő arányban nagyítva az ABC háromszöget: az AF' félegyenesre A-ból az AF=sa szakaszt felmérve és F-en át B'C'-vel párhuzamost húzva, az az A'B' és A'C' félegyenesekből kimetszi a B, C pontokat.


Statistics:

165 students sent a solution.
4 points:104 students.
3 points:24 students.
2 points:19 students.
1 point:11 students.
0 point:7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2007