Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3967. feladat (2007. január)

B. 3967. Szerkesszük meg a háromszöget, ha adott egy szöge, továbbá a szög csúcsából induló magasságának és súlyvonalának hossza.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. február 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Az ABC háromszögben adott a BAC szög (\alpha), az AM magasság (ma) és az AF súlyvonal (sa). A szerkeszthetőség szükséges feltétele sa\gema. Mint látni fogjuk, ez elégséges feltétel is, melynek teljesülése esetén az ABC háromszög egybevégóság erejéig egyértelműen megszerkeszthető. Ha sa=ma, akkor az egyenlőszárú ABC háromszög megszerkesztéséhez az AF szakasszal \alpha/2 szöget bezáró félegyeneseket szerkesztünk, melyek végpontja A, a B,C pontokat az AF szakaszra annak F végpontjában állított merőleges metszi ki ezen félegyenesekből.

A továbbiakban feltesszük, hogy sa>ma, vagyis M\neF, és hogy a B csúcs az FM félegyensre esik. Az AFM derékszögű megszerkesztésével nyert AFM szöget jelölje \delta. Egy tetszőlegesen felvett B'C' szakaszra az ABC-hez hasonló A'B'C' háromszöget úgy szerkeszthetjük meg, hogy B'C' fölé \alpha szögű látókörívet szerkesztünk, majd ezt elmetsszük azzal a félegyenessel, amely a B'C' szakasz F' felezőpontjából indul és az F'B' félegyenessel \delta szöget zár be. Így kapjuk az A=A' pontot, majd az A'B'C' háromszöget megfelelő arányban nagyítva az ABC háromszöget: az AF' félegyenesre A-ból az AF=sa szakaszt felmérve és F-en át B'C'-vel párhuzamost húzva, az az A'B' és A'C' félegyenesekből kimetszi a B, C pontokat.


Statisztika:

165 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:104 versenyző.
3 pontot kapott:24 versenyző.
2 pontot kapott:19 versenyző.
1 pontot kapott:11 versenyző.
0 pontot kapott:7 versenyző.

A KöMaL 2007. januári matematika feladatai