KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3968. (January 2007)

B. 3968. Solve the following inequality:


\sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x - \sqrt{x}} > \frac{4}{3} \sqrt{\frac{x}{x + \sqrt{x}}}.

(4 pont)

Deadline expired on February 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A baloldalon álló kivonandó csak akkor értelmes, ha x\ge0 és x\ge \sqrt{x}, vagyis x\ge1. Ezen feltétel mellett az egyenlőtlenségben szereplő valamennyi kifejezés értelmes, és az ekvivalens a pozitív \sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x - \sqrt{x}} mennyiséggel történő beszorzás után adódó

(x+\sqrt{x})-(x-\sqrt{x})>\frac{4}{3} \Biggl( \sqrt{x}+
\sqrt{\frac{x(x-\sqrt{x})}{x+\sqrt{x}}} \Biggr)

egyenlőtlenséggel. Ha x=1, akkor a baloldalon 2, míg a jobboldalon 4/3 áll, egyébként x>1, amikor is a nagy gyökjel alatt álló törtet (x-\sqrt{x})-szel bővítve egyenlőtlenségünk

2\sqrt{x} >\frac{4}{3} \Biggl( \sqrt{x}+
\sqrt{\frac{x(x-\sqrt{x})^2}{x^2-x}} \Biggr)=
\frac{4}{3} \Biggl( \sqrt{x}+(x-\sqrt{x})\sqrt{\frac{1}{x-1}}\Biggr)

alakba írható, ami pedig (az x>1 feltétel mellett) ekvivalens sorban a

\frac{2}{3} \sqrt{x}> \frac{4}{3} (x-\sqrt{x})\sqrt{\frac{1}{x-1}},

\sqrt{x-1}\sqrt{x}>2(x-\sqrt{x}),

x-1>4(\sqrt{x}-1)^2,

0>3x-8\sqrt{x}+5

egyenlőtlenségekkel. Az y=\sqrt{x}>1 új változóval ez

0>3y2-8y+5=(3y-5)(y-1)

alakba írható, aminek megoldása 1<y<5/3, vagyis 1<x<25/9. Ezt az x=1 megoldással kiegészítve kapjuk az egyenlőtlenség megoldását:

1\le x<\frac{25}{9}.


Statistics:

198 students sent a solution.
4 points:110 students.
3 points:36 students.
2 points:23 students.
1 point:13 students.
0 point:12 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley