Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3968. feladat (2007. január)

B. 3968. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget:


\sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x - \sqrt{x}} > \frac{4}{3} \sqrt{\frac{x}{x + \sqrt{x}}}.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. február 15-én LEJÁRT.


Megoldás: A baloldalon álló kivonandó csak akkor értelmes, ha x\ge0 és x\ge \sqrt{x}, vagyis x\ge1. Ezen feltétel mellett az egyenlőtlenségben szereplő valamennyi kifejezés értelmes, és az ekvivalens a pozitív \sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x - \sqrt{x}} mennyiséggel történő beszorzás után adódó

(x+\sqrt{x})-(x-\sqrt{x})>\frac{4}{3} \Biggl( \sqrt{x}+
\sqrt{\frac{x(x-\sqrt{x})}{x+\sqrt{x}}} \Biggr)

egyenlőtlenséggel. Ha x=1, akkor a baloldalon 2, míg a jobboldalon 4/3 áll, egyébként x>1, amikor is a nagy gyökjel alatt álló törtet (x-\sqrt{x})-szel bővítve egyenlőtlenségünk

2\sqrt{x} >\frac{4}{3} \Biggl( \sqrt{x}+
\sqrt{\frac{x(x-\sqrt{x})^2}{x^2-x}} \Biggr)=
\frac{4}{3} \Biggl( \sqrt{x}+(x-\sqrt{x})\sqrt{\frac{1}{x-1}}\Biggr)

alakba írható, ami pedig (az x>1 feltétel mellett) ekvivalens sorban a

\frac{2}{3} \sqrt{x}> \frac{4}{3} (x-\sqrt{x})\sqrt{\frac{1}{x-1}},

\sqrt{x-1}\sqrt{x}>2(x-\sqrt{x}),

x-1>4(\sqrt{x}-1)^2,

0>3x-8\sqrt{x}+5

egyenlőtlenségekkel. Az y=\sqrt{x}>1 új változóval ez

0>3y2-8y+5=(3y-5)(y-1)

alakba írható, aminek megoldása 1<y<5/3, vagyis 1<x<25/9. Ezt az x=1 megoldással kiegészítve kapjuk az egyenlőtlenség megoldását:

1\le x<\frac{25}{9}.


Statisztika:

198 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:110 versenyző.
3 pontot kapott:36 versenyző.
2 pontot kapott:23 versenyző.
1 pontot kapott:13 versenyző.
0 pontot kapott:12 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2007. januári matematika feladatai