Problem B. 3969. (January 2007)

B. 3969. Determine the locus of the centres of all regular triangles circumscribed about a given acute triangle. (The triangle G is said to be circumscribed about the triangle H if the vertices of H lie on the sides of G.)

(5 pont)

Deadline expired on February 15, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha a H háromszög szabályos, akkor az összes köré írható szabályos háromszög középpontja egybeesik H középpontjával, a továbbiakban tehát feltehetjük, hogy H-nak van 60^o-tól eltérő szöge. Ha H-nak egyetlen 60^o-nál kisebb szöge van, akkor pontosan három olyan köré írt G szabályos háromszög létezik, amelynek valamelyi oldalára H-nak két csúcsa is illeszkedik, nevezetesen H bármely oldalegyenesére illeszthető egy alkalmas G háromszög. Ha viszont H-nak két 60^o-nál kisebb szöge is van, akkor csak két ilyen G található, a leghosszabb oldal egyenesére nem illeszthetünk alkalmas G-t.

Vizsgáljuk tehát azokat a G=DEF szabályos háromszögeket, amelyeknek DE oldalára a H=ABC háromszög A csúcsa, EF oldalára a B csúcs, FD oldalára pedig C illeszkedik. Ekkor D,E és F rendre a CA, AB, illetve BC oldalak fölé kifelé írt 60^o-os k_D, k_E, k_F látóköríven helyezkednek el, ezek középpontját jelölje rendre O_D, O_E, O_F. Vegyünk fel egy G'=D'E'F' háromszöget is hasonló tulajdonsággal, és vizsgáljuk meg, hogy származtatható G-ből G'. Ha az EBE' irányított szög nagysága $\varphi$ , akkor nyilván az FBF', FCF', DCD', DAD' és EAE' irányított szögek is $\varphi$ -vel egyenlők. A kerületi és középponti szögek között fennálló összefüggés alapján tehát a D,E és F pontokat rendre O_D, O_E, illetve O_F köröli 2 $\varphi$ szögű forgatás viszi a D', E', F' pontokba.

Legyen S az O_D,O_E,O_F háromszög súlypontja (ez a háromszög amúgy szabályos, de ez a feladat szempontjából mellékes körülmény). Jelölje $\tau$ az S körüli 2 $\varphi$ szögű forgatást. A S pontból a D, E, F, D', E', F', O_D, O_E, O_F pontokba mutató vektorokat jelölje rendre d, e, f, d', e', f', x, y, z. Ekkor d'= $\tau$ (d-x)+x, e'= $\tau$ (e-y)+y, f'= $\tau$ (f-z)+z, és x+y+z=0. Mivel egy szabályos háromszög középpontja egyben a súlypontja is, S-ből a G' háromszög középpontjába mutató vektor

$\frac{d'+e'+f'}{3}=\frac{\tau(d)+\tau(e)+\tau(f)}{3}+ \frac{x+y+z}{3}-\frac{\tau(x)+\tau(y)+\tau(z)}{3}$

$=\frac{\tau(d+e+f)}{3}-\frac{\tau(x+y+z)}{3}= \tau\Bigl(\frac{d+e+f}{3}\Bigr),$

vagyis a G háromszög középpontját S középpontú, 2 $\varphi$ szögű elforgatás viszi a G' háromszög középpontjába. Az összes ilyen általános helyzetben H köré írt szabályos háromszög középpontja tehát egy S középpontú (esetleg 0 sugarú) körvonalon helyezkedik el, méghozzá a pontok egy folytonos nyílt körívet alkotnak.

Erről a körívről a feladat diszkussziója során kaphatunk egy kicsit pontosabb képet. Nézzük először azt az esetet, amikor H-nak két 60^o-nál kisebb szöge van. Legyen az A-nál, illetve a C-nél lévő szög 60^o- $\eta$ és 60^o- $\vartheta$ , a B-nél lévő szög pedig 60^o+ $\varepsilon$ , ahol 0< $\varepsilon$ = $\eta$ + $\theta$ <30^o. Az AB és CB egyenesek messék a k_F, illetve k_E látóköríveket az F_B és E_B pontokban, ekkor az E_BAB és F_BCB szögek nagysága egyaránt $\varepsilon$ , az E pont nem lehet az E_BB íven, az F pont pedig nem lehet az F_BB íven. Az E_BA és F_BC egyenesek k_D-vel alkotott metszéspontja legyen D_A, illetve D_C, ekkor a D_ACA és D_CAC szögek nagysága rendre $\varepsilon$ - $\eta$ és $\varepsilon$ - $\vartheta$ . A D pont nem lehet sem az AD_A, sem a CD_C íven, az AD_C és CD_A egyenesek pedig érintik a k_E,k_F köröket az E_A=A, illetve F_C=C pontban. A D_CD_A ív egy tetszőleges D pontjából kiindulva kaphatunk tehát egy alkalmas G=DEF háromszöget úgy, hogy E az E_AE_B, F pedig az F_BF_C ívre esik. Más lehetőség nincs, az ívek végpontjai pedig az első bekezdésben leírt két speciális G háromszöghöz tartoznak. Mindhárom ívhez, és így a G háromszögek középpontjait alkotó zárt körívhez is 240^o-2 $\varepsilon$ >180^o nagyságú középponti szög tartozik.

A másik esetben, ha az A, B, C csúcsoknál lévő szögek nagysága rendre 60^o+ $\eta$ , 60^o- $\varepsilon$ és 60^o+ $\vartheta$ , ahol 0 $\le$ $\eta$ , $\vartheta$ <30^o és 0< $\varepsilon$ = $\eta$ + $\vartheta$ <60^o, hasonló helyzet áll elő, csak most E_B=F_B=B, a D_A, D_C pontokat a BA, illetve BC egyeneseknek k_D-vel alkotott metszéspontjaiként kapjuk, az E_A, F_C pontok pedig rendre a D_CA és D_AC egyeneseknek a k_E, illetve k_F körívvel alkotott metszéspontjai. A különbség annyi, hogy most az egyes ívekhez tartozó középponti szög 240^o-2 $\varepsilon$ >120^o lesz, a három speciális elhelyezkedésű G háromszög közül pedig kettő tartozik csak az ívek végpontjaihoz, a harmadik háromszög középpontja egy olyan pont lesz, ami a többi megoldást alkotó körívnek nem pontja.

Végül vizsgáljuk meg, hogy - az esetlegesen egy izolált ponttól eltekintve - a G háromszögek középpontjának mértani helyét alkotó körív sugara lehet-e nulla. Tegyük fel, hogy ez a helyzet. Az E_AE_B ívhez tartozó középponti szög mindkét esetben nagyobb, mint 120^o, ezért találhatók olyan G,G' háromszögek, hogy $\varphi$ =60^o, vagyis a háromszögek egymást metsző oldalai 60^o-os szöget zárnak be egymással. Feltevésünk esetén ez azt jelentené, hogy a G' háromszöget megkaphatjuk G-ből egy S középpontú, negatív arányú nagyítással, amiből DD'=EE'=FF' következne, vagyis a k_D, k_E, k_F körök sugara megegyezne, tehát a H háromszög szabályos lenne.

Statistics:

13 students sent a solution.

5 points: Wolosz János.

3 points: 7 students.

2 points: 3 students.

1 point: 2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2007

13 students sent a solution.
5 points:	Wolosz János.
3 points:	7 students.
2 points:	3 students.
1 point:	2 students.

Already signed up?
New to KöMaL?