KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 3969. Determine the locus of the centres of all regular triangles circumscribed about a given acute triangle. (The triangle G is said to be circumscribed about the triangle H if the vertices of H lie on the sides of G.)

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Ha a H háromszög szabályos, akkor az összes köré írható szabályos háromszög középpontja egybeesik H középpontjával, a továbbiakban tehát feltehetjük, hogy H-nak van 60o-tól eltérő szöge. Ha H-nak egyetlen 60o-nál kisebb szöge van, akkor pontosan három olyan köré írt G szabályos háromszög létezik, amelynek valamelyi oldalára H-nak két csúcsa is illeszkedik, nevezetesen H bármely oldalegyenesére illeszthető egy alkalmas G háromszög. Ha viszont H-nak két 60o-nál kisebb szöge is van, akkor csak két ilyen G található, a leghosszabb oldal egyenesére nem illeszthetünk alkalmas G-t.

Vizsgáljuk tehát azokat a G=DEF szabályos háromszögeket, amelyeknek DE oldalára a H=ABC háromszög A csúcsa, EF oldalára a B csúcs, FD oldalára pedig C illeszkedik. Ekkor D,E és F rendre a CAAB, illetve BC oldalak fölé kifelé írt 60o-os kDkEkF látóköríven helyezkednek el, ezek középpontját jelölje rendre ODOEOF. Vegyünk fel egy G'=D'E'F' háromszöget is hasonló tulajdonsággal, és vizsgáljuk meg, hogy származtatható G-ből G'. Ha az EBE' irányított szög nagysága \varphi, akkor nyilván az FBF', FCF', DCD', DAD' és EAE' irányított szögek is \varphi-vel egyenlők. A kerületi és középponti szögek között fennálló összefüggés alapján tehát a D,E és F pontokat rendre OD, OE, illetve OF köröli 2\varphi szögű forgatás viszi a D', E', F' pontokba.

Legyen S az OD,OE,OF háromszög súlypontja (ez a háromszög amúgy szabályos, de ez a feladat szempontjából mellékes körülmény). Jelölje \tau az S körüli 2\varphi szögű forgatást. A S pontból a DEFD', E', F', ODOEOF pontokba mutató vektorokat jelölje rendre defd', e', f', xyz. Ekkor d'=\tau(d-x)+x, e'=\tau(e-y)+y, f'=\tau(f-z)+z, és x+y+z=0. Mivel egy szabályos háromszög középpontja egyben a súlypontja is, S-ből a G' háromszög középpontjába mutató vektor

\frac{d'+e'+f'}{3}=\frac{\tau(d)+\tau(e)+\tau(f)}{3}+
\frac{x+y+z}{3}-\frac{\tau(x)+\tau(y)+\tau(z)}{3}

=\frac{\tau(d+e+f)}{3}-\frac{\tau(x+y+z)}{3}=
\tau\Bigl(\frac{d+e+f}{3}\Bigr),

vagyis a G háromszög középpontját S középpontú, 2\varphi szögű elforgatás viszi a G' háromszög középpontjába. Az összes ilyen általános helyzetben H köré írt szabályos háromszög középpontja tehát egy S középpontú (esetleg 0 sugarú) körvonalon helyezkedik el, méghozzá a pontok egy folytonos nyílt körívet alkotnak.

Erről a körívről a feladat diszkussziója során kaphatunk egy kicsit pontosabb képet. Nézzük először azt az esetet, amikor H-nak két 60o-nál kisebb szöge van. Legyen az A-nál, illetve a C-nél lévő szög 60o-\eta és 60o-\vartheta, a B-nél lévő szög pedig 60o+\varepsilon, ahol 0<\varepsilon=\eta+\theta<30o. Az AB és CB egyenesek messék a kF, illetve kE látóköríveket az FB és EB pontokban, ekkor az EBAB és FBCB szögek nagysága egyaránt \varepsilon, az E pont nem lehet az EBB íven, az F pont pedig nem lehet az FBB íven. Az EBA és FBC egyenesek kD-vel alkotott metszéspontja legyen DA, illetve DC, ekkor a DACA és DCAC szögek nagysága rendre \varepsilon-\eta és \varepsilon-\vartheta. A D pont nem lehet sem az ADA, sem a CDC íven, az ADC és CDA egyenesek pedig érintik a kE,kF köröket az EA=A, illetve FC=C pontban. A DCDA ív egy tetszőleges D pontjából kiindulva kaphatunk tehát egy alkalmas G=DEF háromszöget úgy, hogy E az EAEB, F pedig az FBFC ívre esik. Más lehetőség nincs, az ívek végpontjai pedig az első bekezdésben leírt két speciális G háromszöghöz tartoznak. Mindhárom ívhez, és így a G háromszögek középpontjait alkotó zárt körívhez is 240o-2\varepsilon>180o nagyságú középponti szög tartozik.

A másik esetben, ha az ABC csúcsoknál lévő szögek nagysága rendre 60o+\eta, 60o-\varepsilon és 60o+\vartheta, ahol 0\le\eta,\vartheta<30o és 0<\varepsilon=\eta+\vartheta<60o, hasonló helyzet áll elő, csak most EB=FB=B, a DADC pontokat a BA, illetve BC egyeneseknek kD-vel alkotott metszéspontjaiként kapjuk, az EAFC pontok pedig rendre a DCA és DAC egyeneseknek a kE, illetve kF körívvel alkotott metszéspontjai. A különbség annyi, hogy most az egyes ívekhez tartozó középponti szög 240o-2\varepsilon>120o lesz, a három speciális elhelyezkedésű G háromszög közül pedig kettő tartozik csak az ívek végpontjaihoz, a harmadik háromszög középpontja egy olyan pont lesz, ami a többi megoldást alkotó körívnek nem pontja.

Végül vizsgáljuk meg, hogy - az esetlegesen egy izolált ponttól eltekintve - a G háromszögek középpontjának mértani helyét alkotó körív sugara lehet-e nulla. Tegyük fel, hogy ez a helyzet. Az EAEB ívhez tartozó középponti szög mindkét esetben nagyobb, mint 120o, ezért találhatók olyan G,G' háromszögek, hogy \varphi=60o, vagyis a háromszögek egymást metsző oldalai 60o-os szöget zárnak be egymással. Feltevésünk esetén ez azt jelentené, hogy a G' háromszöget megkaphatjuk G-ből egy S középpontú, negatív arányú nagyítással, amiből DD'=EE'=FF' következne, vagyis a kDkEkF körök sugara megegyezne, tehát a H háromszög szabályos lenne.


Statistics on problem B. 3969.
13 students sent a solution.
5 points:Wolosz János.
3 points:7 students.
2 points:3 students.
1 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2007

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program