KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3969. Determine the locus of the centres of all regular triangles circumscribed about a given acute triangle. (The triangle G is said to be circumscribed about the triangle H if the vertices of H lie on the sides of G.)

(5 points)

Deadline expired on 15 February 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Ha a H háromszög szabályos, akkor az összes köré írható szabályos háromszög középpontja egybeesik H középpontjával, a továbbiakban tehát feltehetjük, hogy H-nak van 60o-tól eltérő szöge. Ha H-nak egyetlen 60o-nál kisebb szöge van, akkor pontosan három olyan köré írt G szabályos háromszög létezik, amelynek valamelyi oldalára H-nak két csúcsa is illeszkedik, nevezetesen H bármely oldalegyenesére illeszthető egy alkalmas G háromszög. Ha viszont H-nak két 60o-nál kisebb szöge is van, akkor csak két ilyen G található, a leghosszabb oldal egyenesére nem illeszthetünk alkalmas G-t.

Vizsgáljuk tehát azokat a G=DEF szabályos háromszögeket, amelyeknek DE oldalára a H=ABC háromszög A csúcsa, EF oldalára a B csúcs, FD oldalára pedig C illeszkedik. Ekkor D,E és F rendre a CAAB, illetve BC oldalak fölé kifelé írt 60o-os kDkEkF látóköríven helyezkednek el, ezek középpontját jelölje rendre ODOEOF. Vegyünk fel egy G'=D'E'F' háromszöget is hasonló tulajdonsággal, és vizsgáljuk meg, hogy származtatható G-ből G'. Ha az EBE' irányított szög nagysága \varphi, akkor nyilván az FBF', FCF', DCD', DAD' és EAE' irányított szögek is \varphi-vel egyenlők. A kerületi és középponti szögek között fennálló összefüggés alapján tehát a D,E és F pontokat rendre OD, OE, illetve OF köröli 2\varphi szögű forgatás viszi a D', E', F' pontokba.

Legyen S az OD,OE,OF háromszög súlypontja (ez a háromszög amúgy szabályos, de ez a feladat szempontjából mellékes körülmény). Jelölje \tau az S körüli 2\varphi szögű forgatást. A S pontból a DEFD', E', F', ODOEOF pontokba mutató vektorokat jelölje rendre defd', e', f', xyz. Ekkor d'=\tau(d-x)+x, e'=\tau(e-y)+y, f'=\tau(f-z)+z, és x+y+z=0. Mivel egy szabályos háromszög középpontja egyben a súlypontja is, S-ből a G' háromszög középpontjába mutató vektor

\frac{d'+e'+f'}{3}=\frac{\tau(d)+\tau(e)+\tau(f)}{3}+
\frac{x+y+z}{3}-\frac{\tau(x)+\tau(y)+\tau(z)}{3}

=\frac{\tau(d+e+f)}{3}-\frac{\tau(x+y+z)}{3}=
\tau\Bigl(\frac{d+e+f}{3}\Bigr),

vagyis a G háromszög középpontját S középpontú, 2\varphi szögű elforgatás viszi a G' háromszög középpontjába. Az összes ilyen általános helyzetben H köré írt szabályos háromszög középpontja tehát egy S középpontú (esetleg 0 sugarú) körvonalon helyezkedik el, méghozzá a pontok egy folytonos nyílt körívet alkotnak.

Erről a körívről a feladat diszkussziója során kaphatunk egy kicsit pontosabb képet. Nézzük először azt az esetet, amikor H-nak két 60o-nál kisebb szöge van. Legyen az A-nál, illetve a C-nél lévő szög 60o-\eta és 60o-\vartheta, a B-nél lévő szög pedig 60o+\varepsilon, ahol 0<\varepsilon=\eta+\theta<30o. Az AB és CB egyenesek messék a kF, illetve kE látóköríveket az FB és EB pontokban, ekkor az EBAB és FBCB szögek nagysága egyaránt \varepsilon, az E pont nem lehet az EBB íven, az F pont pedig nem lehet az FBB íven. Az EBA és FBC egyenesek kD-vel alkotott metszéspontja legyen DA, illetve DC, ekkor a DACA és DCAC szögek nagysága rendre \varepsilon-\eta és \varepsilon-\vartheta. A D pont nem lehet sem az ADA, sem a CDC íven, az ADC és CDA egyenesek pedig érintik a kE,kF köröket az EA=A, illetve FC=C pontban. A DCDA ív egy tetszőleges D pontjából kiindulva kaphatunk tehát egy alkalmas G=DEF háromszöget úgy, hogy E az EAEB, F pedig az FBFC ívre esik. Más lehetőség nincs, az ívek végpontjai pedig az első bekezdésben leírt két speciális G háromszöghöz tartoznak. Mindhárom ívhez, és így a G háromszögek középpontjait alkotó zárt körívhez is 240o-2\varepsilon>180o nagyságú középponti szög tartozik.

A másik esetben, ha az ABC csúcsoknál lévő szögek nagysága rendre 60o+\eta, 60o-\varepsilon és 60o+\vartheta, ahol 0\le\eta,\vartheta<30o és 0<\varepsilon=\eta+\vartheta<60o, hasonló helyzet áll elő, csak most EB=FB=B, a DADC pontokat a BA, illetve BC egyeneseknek kD-vel alkotott metszéspontjaiként kapjuk, az EAFC pontok pedig rendre a DCA és DAC egyeneseknek a kE, illetve kF körívvel alkotott metszéspontjai. A különbség annyi, hogy most az egyes ívekhez tartozó középponti szög 240o-2\varepsilon>120o lesz, a három speciális elhelyezkedésű G háromszög közül pedig kettő tartozik csak az ívek végpontjaihoz, a harmadik háromszög középpontja egy olyan pont lesz, ami a többi megoldást alkotó körívnek nem pontja.

Végül vizsgáljuk meg, hogy - az esetlegesen egy izolált ponttól eltekintve - a G háromszögek középpontjának mértani helyét alkotó körív sugara lehet-e nulla. Tegyük fel, hogy ez a helyzet. Az EAEB ívhez tartozó középponti szög mindkét esetben nagyobb, mint 120o, ezért találhatók olyan G,G' háromszögek, hogy \varphi=60o, vagyis a háromszögek egymást metsző oldalai 60o-os szöget zárnak be egymással. Feltevésünk esetén ez azt jelentené, hogy a G' háromszöget megkaphatjuk G-ből egy S középpontú, negatív arányú nagyítással, amiből DD'=EE'=FF' következne, vagyis a kDkEkF körök sugara megegyezne, tehát a H háromszög szabályos lenne.


Statistics on problem B. 3969.
13 students sent a solution.
5 points:Wolosz János.
3 points:7 students.
2 points:3 students.
1 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program  
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley