Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 3970. (January 2007)

B. 3970. Prove that the harmonic mean of the lengths of the diagonals of a regular heptagon of unit sides is 2.

(4 pont)

Deadline expired on February 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Jelölje a másodszomszédos csúcsokat összekötő átlók hosszát x, a harmadszomszédosokat összekötőkét y. Mivel ugyanannyi x hosszúságú átló van, mint y hosszúságú, az összes átló harmonikus közepe ugyanannyi mint x és y harmonikus közepe, vagyis a bizonyítandó állítást x+y=xy alakban is felírhatjuk. A hétszög köré írható kör sugara r=1/2sin (\pi/7), továbbá x=2rsin (2\pi/7) és y=2rsin (3\pi/7). Behelyettesítés és sin2(\pi/7)-tel való beszorzás után a bizonyítandó állítást

\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7}+
\sin\frac{3\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7}=
\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{3\pi}{7}

alakra hozhatjuk. A 2sin \alphasin \beta=cos (\alpha-\beta)-cos (\alpha+\beta) addíciós tétel szerint ez ekvivalens a

\Bigl(\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{3\pi}{7}\Bigr)+
\Bigl(\cos\frac{2\pi}{7}-\cos\frac{4\pi}{7}\Bigr)=
\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{5\pi}{7}

összefüggéssel, ami nyilvánvalóan érvényes, hiszen

\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{5\pi}{7}=
\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}=0.


Statistics:

132 students sent a solution.
4 points:90 students.
3 points:4 students.
2 points:33 students.
1 point:2 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2007