KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3970. Prove that the harmonic mean of the lengths of the diagonals of a regular heptagon of unit sides is 2.

(4 points)

Deadline expired on 15 February 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Jelölje a másodszomszédos csúcsokat összekötő átlók hosszát x, a harmadszomszédosokat összekötőkét y. Mivel ugyanannyi x hosszúságú átló van, mint y hosszúságú, az összes átló harmonikus közepe ugyanannyi mint x és y harmonikus közepe, vagyis a bizonyítandó állítást x+y=xy alakban is felírhatjuk. A hétszög köré írható kör sugara r=1/2sin (\pi/7), továbbá x=2rsin (2\pi/7) és y=2rsin (3\pi/7). Behelyettesítés és sin2(\pi/7)-tel való beszorzás után a bizonyítandó állítást

\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7}+
\sin\frac{3\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7}=
\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{3\pi}{7}

alakra hozhatjuk. A 2sin \alphasin \beta=cos (\alpha-\beta)-cos (\alpha+\beta) addíciós tétel szerint ez ekvivalens a

\Bigl(\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{3\pi}{7}\Bigr)+
\Bigl(\cos\frac{2\pi}{7}-\cos\frac{4\pi}{7}\Bigr)=
\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{5\pi}{7}

összefüggéssel, ami nyilvánvalóan érvényes, hiszen

\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{5\pi}{7}=
\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}=0.


Statistics on problem B. 3970.
132 students sent a solution.
4 points:90 students.
3 points:4 students.
2 points:33 students.
1 point:2 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley