KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3970. (January 2007)

B. 3970. Prove that the harmonic mean of the lengths of the diagonals of a regular heptagon of unit sides is 2.

(4 pont)

Deadline expired on 15 February 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Jelölje a másodszomszédos csúcsokat összekötő átlók hosszát x, a harmadszomszédosokat összekötőkét y. Mivel ugyanannyi x hosszúságú átló van, mint y hosszúságú, az összes átló harmonikus közepe ugyanannyi mint x és y harmonikus közepe, vagyis a bizonyítandó állítást x+y=xy alakban is felírhatjuk. A hétszög köré írható kör sugara r=1/2sin (\pi/7), továbbá x=2rsin (2\pi/7) és y=2rsin (3\pi/7). Behelyettesítés és sin2(\pi/7)-tel való beszorzás után a bizonyítandó állítást

\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7}+
\sin\frac{3\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7}=
\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{3\pi}{7}

alakra hozhatjuk. A 2sin \alphasin \beta=cos (\alpha-\beta)-cos (\alpha+\beta) addíciós tétel szerint ez ekvivalens a

\Bigl(\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{3\pi}{7}\Bigr)+
\Bigl(\cos\frac{2\pi}{7}-\cos\frac{4\pi}{7}\Bigr)=
\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{5\pi}{7}

összefüggéssel, ami nyilvánvalóan érvényes, hiszen

\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{5\pi}{7}=
\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}=0.


Statistics:

132 students sent a solution.
4 points:90 students.
3 points:4 students.
2 points:33 students.
1 point:2 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley