KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3971. The sum of the non-negative numbers x, y, z is 1. Let


S= x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2\quad\mbox{and}\quad C=x^2y+y^2z+z^2x.

What are the maximum possible values of S and C?

(5 points)

Deadline expired on 15 February 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Vizsgáljuk először az S értékét. Feltehetjük, hogy a számok közül z a legkisebb, ekkor c=1-z=x+y\ge2/3.

S=cxy+(c2-2xy)(1-c)+c(1-c)2=(3c-2)xy+c(1-c).

Itt xy\lec2/4, ahol egyenlőség pontosan az x=y=c/2 esetben áll fenn. Ezért

S^2\le (3c-2)\frac{c^2}{4}+c(1-c)=
\frac{3}{4}c^3-\frac{3}{2}c^2+c:=f(c),

ahol egyenlőség pontosan az x=y=c/2 esetben áll fenn. A jobboldalon álló függvény c szerinti deriváltja

f'(c)=\frac{9}{4}c^2-3c+1=\Bigl(\frac{3}{2}c-1\Bigr)^2.

Az f(c) függvény tehát az egész számegyenesen szigorúan monoton nő, a 2/3\lec\le1 feltétel mellett tehát legnagyobb értékét a c=1 helyen veszi fel. Ezek alapján S lehetséges legnagyobb értéke Smax =f(1)=1/4, amit z=0, x=y=1/2 esetén, illetve a kezdetben z-re tett feltételt mellőzve szimmetria okok miatt még x=0, y=z=1/2, illetve y=1, x=z=1/2 esetén vesz fel.

C értékét vizsgálva is feltehetjük, hogy z a legkisebb, ekkor 0\lez\le1/3. Mivel x,y\gez, innen y=1-z-x, ahol x tetszőleges eleme a [z,1-2z] intervallumnak. Rögzített z mellett vizsgáljuk az

f(x):=C=-x3+x2+(3z2-2z)x+(z3-2z2+z)

függvényt. Ennek deriváltja, f'(x)=-3x2+2x+(3z2-2z) pontosan akkor 0, ha x1=z, vagy x2=2/3-z. Mivel z\le2/3-z és f főegyütthatója negatív, a [z,\infty) intervallumon f(x) maximumát az x=2/3-z helyen veszi fel. Mivel pedig 2/3-z\in[z,1-2z], rögzített 0\lez\le1/3 esetén C értéke akkor a lehető legnagyobb, ha x=2/3-z, y=1/3. Ekkor a

g(z):=C=-z^3+z^2-\frac{1}{3}z+\frac{4}{27}

deriváltja g'(z)=-(3z-2)2/3, vagyis a g függvény szigorúan monoton csökken, a [0,1/3] intervallumban legnagyobb értékét a z=0 helyen veszi fel. Ezek alapján C lehetséges legnagyobb értéke Cmax =g(0)=4/27, amit z=0, y=1/3, x=2/3 esetén, illetve a kezdetben z-re tett feltételt mellőzve szimmetria okok miatt még x=0, z=1/3, y=2/3, illetve y=0, x=1/3, z=2/3 esetén vesz fel.


Statistics on problem B. 3971.
42 students sent a solution.
5 points:Almási 270 Gábor András, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csizmadija Laura, Éles András, Grósz Dániel, Kunos Ádám, Nagy 314 Dániel, Sümegi Károly, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szűcs Gergely, Tóth 666 László Márton.
4 points:Cseh Ágnes, Fonyó Dávid, Honner Balázs, Lovas Lia Izabella, Mercz Béla, Peregi Tamás, Sárkány Lőrinc, Somogyi Ákos, Tossenberger Anna, Tóth 796 Balázs, Wolosz János, Zieger Milán.
3 points:4 students.
2 points:2 students.
0 point:9 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley