Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3972. (February 2007)

B. 3972. Let n be a positive integer. Prove that there exist n integers such that their sum is 0 and their product is n if and only if n is divisible by 4.

(3 pont)

Deadline expired on March 19, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha n páratlan, akkor a szorzatra vonatkozó feltétel miatt mindegyik szám páratlan kellene legyen, de páratlan sok páratlan szám összege nem lehet 0, lévén páratlan. Hasonlóképpen, ha n páros, de 4-gyel nem osztható, akkor a számok között pontosan egy párosnak kellene lennie, amiért is a számok összege ismét páratlan lenne. Ha n osztható 8-cal, akkor 1 darab 2-es, 1 darab \frac{n}{2}-es, \frac{n}{4}-2 darab 1-es és \frac{3n}{4} darab -1-es megfelelő lesz. Végül, ha n nem osztható 8-cal, de 4-gyel igen, akkor 1 darab -2-es, 1 darab \frac{n}{2}-es, \frac{n}{4} darab 1-es és \frac{3n}{4}-2 darab -1-es lesz megfelelő választás.


Statistics:

138 students sent a solution.
3 points:51 students.
2 points:23 students.
1 point:50 students.
0 point:14 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2007