KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3973. (February 2007)

B. 3973. In how many different ways is it possible to place 14 bishops on a chessboard so that they do not attack each other?

(3 pont)

Deadline expired on 19 March 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Nevezzük átlónak a sakktábla azonos színű mezőinek olyan maximális részhalmazát, amelyek mindegyikén áthalad valamely, a tábla széleivel 45o-os szöget bezáró egyenes. Ennek megfelelően megkülönböztetünk sötét és világos átlókat, egy adott átló hossza alatt az átlóban szereplő mezők számát értjük. Világos, hogy egy átlóban csak egy futó állhat. Mivel az összes világos mező beosztható 7 párhuzamos átlóba, melyek hossza rendre 2, 4, 6, 8, 6, 4, 2, és hasonló állítás igaz a sötét mezőkre is, a 14 futót csak úgy helyezhető el, ha pontosan 7 világos és 7 sötét bábu van köztük, az említett átlók közül mindegyikben pontosan egy.

Vizsgáljuk meg, hányféleképpen helyezhetjük el a 7 világos bábut, a 14 futó lehetséges elhelyezéseinek száma nyilván ennek a négyzete lesz. Az egyik 2 hosszú világos átló bármelyik mezőjére helyezhetünk egy bábut, ez a másik 2 hosszú világos átlóban elhelyezhető bábu helyzetét egyértelműen meghatározza. Ezek után a 4, 6, illetve 8 hosszú világos átlókban a középső két helyre már nem tehetünk bábut, vagyis az egyik 4 hosszú átlóban két hely közül választhatunk, és az a másik 4 hosszú átlóba elhelyezendő bábu helyét már eldönti. A gondolatmenetet folytatva látszik, hogy a 7 világos bábut 24 lehetséges módon helyezhetjük el, az összeset pedig ezek szerint 28=256 különböző módon.


Statistics:

187 students sent a solution.
3 points:113 students.
2 points:15 students.
1 point:22 students.
0 point:37 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley