Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3974. (February 2007)

B. 3974. Given a triangle ABC. Find the locus of the points P in the plane for which AP2+BP2=CP2?

(4 pont)

Deadline expired on March 19, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A megoldáshoz a vektorok skaláris szorzatának fogalmát és tulajdonságait használjuk fel. Az A,B,C,P pontok helyvektorai legyenek rendre a,b,c,p. Ekkor az AP2+BP2=CP2 feltétel (p-a)2+(p-b)2=(p-c)2 alakban írható fel. Kifejtés és átrendezés után azt kapjuk, hogy p2-2p(a+b-c)+a2+b2-c2=0. Innen

(p-(a+b-c))2=2(c-a)(c-b)=2AC.BCcos \gamma=AC2+BC2-AB2.

Legyen a C csúcs tükörképe az AB szakasz felezőpontjára D, ekkor a+b-c éppen a D pont helyvektora, a feltételt tehát

PD2=AC2+BC2-AB2

alakban írhatjuk fel. Ha \gamma>90o, vagyis az ABC háromszögnek C-nél tompaszöge van, akkor a mértani hely üres. Ha \gamma=90o, akkor a mértani hely egyedül a D pontból áll, ha pedig \gamma hegyesszög, akkor a P pontok mértani helye a D középpontú \sqrt{AC^2+BC^2-AB^2} sugarú körvonal lesz.


Statistics:

110 students sent a solution.
4 points:Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Anda Roland, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Gombor Tamás, Honner Balázs, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kunovszki Péter, Márkus Bence, Mester Anita, Meszlényi Regina, Mihálykó Ágnes, Nagy 314 Dániel, Páldy Sándor, Réti Dávid, Rózsa Levente, Sárkány Lőrinc, Tossenberger Anna, Törcsvári Gergő.
3 points:Bakacsi Péter, Bock Lilla, Déri Nóra, Farkas Ádám László, Herber Máté, Kovács 333 Veronika, Kriván Bálint, Nagy-Baló András, Ratku Antal, Szabó 895 Dávid, Szalóki Dávid, Szikszay László, Tallián György, Varga 009 Bálint.
2 points:55 students.
1 point:13 students.
0 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2007