KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3976. Through an interior point of a triangle of sides a, b, c a parallel line is drawn to each side. Given that the segments of these lines intercepted by the triangle have the same length, find that length.

(4 points)

Deadline expired on 19 March 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az ábra jelöléseivel élve BC''=A'P=\alphac, CB'=A''P=\alphab, AC'=B''P=\betac, CA''=B'P=\betaa, BA'=C''P=\gammaa, AB''=C'P=\gammab. A PC'C'' háromszög hasonló a CAB háromszöghöz, ahol a hasonlóság aránya \gamma. Ezért C'C''=\gammac, vagyis \alpha+\beta+\gamma=1.

A feltétel szerint

B'C''=(1-\alpha)a=C'A''=(1-\beta)b=A'B''=(\alpha+\beta)c.

Innen 1-\alpha=(\alpha+\beta)c/a és 1-\beta=(\alpha+\beta)c/b. összeadva a

2-\alpha-\beta=(\alpha+\beta)\Bigl(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\Bigr)

összefüggésre jutunk, ahonnan

2=(\alpha+\beta)\frac{ab+ac+bc}{ab}.

Következésképpen a keresett hosszúság

A'B''=(\alpha+\beta)c=\frac{2abc}{ab+ac+bc}

éppen az oldalak harmonikus közepének 2/3 része.


Statistics on problem B. 3976.
93 students sent a solution.
4 points:78 students.
3 points:3 students.
2 points:1 student.
1 point:2 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley