KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3976. (February 2007)

B. 3976. Through an interior point of a triangle of sides a, b, c a parallel line is drawn to each side. Given that the segments of these lines intercepted by the triangle have the same length, find that length.

(4 pont)

Deadline expired on 19 March 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az ábra jelöléseivel élve BC''=A'P=\alphac, CB'=A''P=\alphab, AC'=B''P=\betac, CA''=B'P=\betaa, BA'=C''P=\gammaa, AB''=C'P=\gammab. A PC'C'' háromszög hasonló a CAB háromszöghöz, ahol a hasonlóság aránya \gamma. Ezért C'C''=\gammac, vagyis \alpha+\beta+\gamma=1.

A feltétel szerint

B'C''=(1-\alpha)a=C'A''=(1-\beta)b=A'B''=(\alpha+\beta)c.

Innen 1-\alpha=(\alpha+\beta)c/a és 1-\beta=(\alpha+\beta)c/b. összeadva a

2-\alpha-\beta=(\alpha+\beta)\Bigl(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\Bigr)

összefüggésre jutunk, ahonnan

2=(\alpha+\beta)\frac{ab+ac+bc}{ab}.

Következésképpen a keresett hosszúság

A'B''=(\alpha+\beta)c=\frac{2abc}{ab+ac+bc}

éppen az oldalak harmonikus közepének 2/3 része.


Statistics:

93 students sent a solution.
4 points:78 students.
3 points:3 students.
2 points:1 student.
1 point:2 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley